등식의 증명

Problem 5-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 모든 자연수 n 에 대하여 1²+2²+3²+ …+ n² = (1/6)n(n+1)(2n+1) 이 성립하는 것을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
(증명)

[I] n = 1 일 때, 1² = (1/6)·1·2·3 이므로 성립
[II] n = k (k = 1,2,3, …) 일 때, 등식이 성립한다고 가정하면

1²+2²+3²+…+k² = (1/6)k(k+1)(2k+1)
1²+2²+3²+ …+k²+(k+1)² = (1/6)k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

= (1/6)(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}
= (1/6)(k+1)(2k²+7k+6)
= (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3)
= (1/6)(k+1)(k+2){2(2k+1)+1} 이므로

등식은 n = k+1 일 때도 성립

∴ 모든 자연수 n 에 대하여 1²+2²+3²+ …+ n² = (1/6)n(n+1)(2n+1) 이 성립 ^^

k 가 자연수일 때, 명제 p(n) 이 …  p(1) 이 참이고…  p(k)가 참이면 반드시 p(k+1) 도 참이 되는 성질을 가지면, 명제 p(n) 은 모든 자연수 n 에 대하여 참입니다. ^^




2. 모든 자연수 n 에 대하여 1³+2³+3³+ …+ n³ = {(1/2)n(n+1)}² 이 성립하는 것을 수학적 귀납법으로 증명하시오.　
(증명)　

[I] n = 1 일 때, 1³ = {(1/2)·1·2}² 이므로 성립
[II] n = k (k = 1,2,3, …) 일 때, 등식이 성립한다고 가정하면

1³+2³+3³+…+k³ = {(1/2)k(k+1)}²
1³+2³+3³+ …+k³+(k+1)³ = {(1/2)k(k+1)}²+(k+1)³

= (1/4)(k+1)²{k²+4(k+1)}
= (1/4)(k+1)²(k²+4k+4)
= (1/4)(k+1)²(k+2)² = {(1/2)k(k+1)}² 이므로

등식은 n = k+1 일 때도 성립

∴ 모든 자연수 n 에 대하여 1³+2³+3³+…+n³ = {(1/2)n(n+1)}² 이 성립 ^^

☞ p(1) 이 참, p(k) 가 참이면 반드시 p(k+1) 도 참 → p(1), p(2), p(3), … 이 모두 참. ^^




3. 모든 자연수 n 에 대하여 a+ar+ar²+ar³+…+ar^n-1 = a(rⁿ-1)/(r-1) (단, r≠1) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하시오.
(증명)　

[I] n = 1 일 때, a = a(r-1)/(r-1) 이므로 성립
[II] n = k (k = 1,2,3, …) 일 때, 등식이 성립한다고 가정하면

a+ar+ar²+ar³+…+ar^k-1 = a(r^k-1)/(r-1)
a+ar+ar²+ar³+…+ar^k-1+ar^k = a(r^k-1)/(r-1)+ar^k

= a(r^k-1)/(r-1)+ar^k(r-1)/(r-1)
= (ar^k-a)/(r-1)+(ar^k+1-ar^k)/(r-1)
= (ar^k+1-a)/(r-1) = a(r^k+1-1)/(r-1) 이므로

등식은 n = k+1 일 때도 성립

∴ 모든 자연수 n 에 대하여 a+ar+ar²+ar³+…+ar^n-1 = a(rⁿ-1)/(r-1) (단, r≠1) 이 성립 ^^

☞ 첫째 항이 a, 공비가 r(≠1) 인 등비수열의 n 항까지의 합 S_n 구하기

S_n = a+ar+ar²+ar³+…+ar^n-1 …㉠ → rS_n = ar+ar²+ar³+…+ar^n-1+arⁿ …㉡
㉠, ㉡을 변끼리 빼면 → (1-r)S_n = a-arⁿ  ∴ S_n = a(1-rⁿ)/(1-r) = a(rⁿ-1)/(r-1) ^^




4. 모든 자연수 n 에 대하여{1/k(k+1)} = n/(n+1) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하시오.　
(증명)　

[I] n = 1 일 때, 1/(1·2) = 1/2 이므로 성립
[II] n = m (m = 1,2,3, …) 일 때 등식이 성립한다고 가정하면,{1/k(k+1)} = m/(m+1)

{1/k(k+1)} + 1/(m+1)(m+2) = m/(m+1) + 1/(m+1)(m+2) = (m²+2m+1)/(m+1)(m+2)
{1/k(k+1)} = (m+1)²/(m+1)(m+2) = (m+1)/(m+2) 이므로 등식은 n = m+1 일 때도 성립

∴ 모든 자연수 n 에 대하여{1/k(k+1)} = n/(n+1) 이 성립 ^^

☞ a_k +a_m+1 = (a₁+a₂+a₃+…+a_m)+a_m+1 =a_k ^^

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