수학적 귀납법

Problem 5-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. a₁ = 2, a_n+1 = 2-(1/a_n) (n = 1,2,3, …) 로 주어진 수열의 일반항 {a_n} 을 추정하고 그 결과가 참임을 수학적귀납법으로 증명하시오.
(풀이)　

1) a_n 의 추정

a₂ = 2-(1/a₁) = 2-(1/2) = 3/2
a₃ = 2-(1/a₂) = 2-(2/3) = 4/3
a₄ = 2-(1/a₃) = 2-(3/4) = 5/4 이므로… a_n = (n+1)/n 이라고 추측할 수 있다.

2) a_n = (n+1)/n ( n = 1,2,3, …) 의 증명

[I] a₁ = 2/1 = 2 이므로 a_n = (n+1)/n 은 n = 1 일 때 성립
[II] a_k = (k+1)/k (k = 1,2,3, …) 라고 하면

a_k+1 = 2-(1/a_k) = 2-{k/(k+1)} = {2(k+1)-k}/(k+1) = (k+2)/(k+1)
∴ a_n = (n+1)/n 는  n = k+1 일 때도 성립

[I], [II] 에서 a_n = (n+1)/n 은 모든 자연수 n 에 대하여 성립. ^^

명제 p(n) 이 … 'p(1) 이 참' 이고 'p(k) 가 참이면 반드시 p(k+1) 도 참' 이 되는 두 가지 성질을 가지면, 명제 p(n) 은 모든 자연수 n 에 대하여 참이 됩니다. ^^




2. n 이 자연수일 때, n³+2n 이 3 의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
(증명)　

[I] n = 1 일 때 → 1³+2·1 = 3 은 3 의 배수
[II]k³+2k = 3Q (Q는 정수, k = 1,2,3, …) 라고 가정하면

(k+1)³+2(k+1) = (k³+3k²+3k+1)+(2k+2) = k³+3k²+5k+3 = (k³+2k)+(3k²+3k+3)

= 3Q+3(k²+k+1) = 3{Q+(k²+k+1)}

[I], [II] 에서 모든 자연수 n 에 대하여 n³+2n 은 3 의 배수. ^^

☞ (n-1)n(n+1) 이 6 의 배수 → n³+2n = n³-n+3n = (n-1)n(n+1)+3n 은 3 의 배수^^




3. a₁ = 1/2, a_n+1 = 1/(2-a_n) (n =1,2,3, …) 로 주어진 수열의 일반항 {a_n} 을 추정하고 그 결과가 참임을 수학적귀납법으로 증명하시오.
(풀이)　

1) a_n 의 추정

a₂ = 1/(2-a₁) = 1/{1-(1/2)} = 1/(3/2) = 2/3
a₃ = 1/(2-a₂) = 1/{1-(2/3)} = 1/(4/3) = 3/4
a₄ = 1/(2-a₃) = 1/{1-(3/4)} = 1/(5/4) = 4/5 이므로… a_n = n/(n+1) 이라고 추측할 수 있다.

2) a_n = n/(n+1) 의 증명

[I] a₁ = 1/2  이므로 a_n = n/(n+1) 은 n = 1 일 때 성립
[II] a_k = k/(k+1) (k = 1,2,3, …) 이라고 하면

a_k+1 = 1/(2-a_k) = 1/{2-k/(k+1)} = 1/{(k+2)/(k+1)} = (k+1)/(k+2)
∴ a_n = n/(n+1) 은  n = k+1 일 때도 성립

[I], [II] 에서 a_n = n/(n+1) 은 모든 자연수 n 에 대하여 성립. ^^

p(1) 이 참이고 p(k) 가 참이면 p(k+1) 이 참 → p(1), p(2), p(3), …, p(n), … 이 모두 참 ^^




4. n 이 자연수일 때, n(n+1)(2n+1) 이 6 의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
(증명)　

[I] n = 1 일 때 → 1·2·3 = 6 은 6 의 배수
[II]k(k+1)(2k+1) = 6Q (Q는 정수, k = 1,2,3, …) 라고 가정하면

(k+1)(k+2){2(k+1)+1} = (k+1)(k+2)(2k+3) = 2k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)

= k(k+1)(2k+4)+3(k+1)(k+2) = k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+2) =6Q+6(k+1)(k+2) = 6{Q+(k+1)(k+2)}

[I], [II] 에서 모든 자연수 n 에 대하여 n(n+1)(2n+1) 은 6 의 배수. ^^

☞ 연속한 세 정수의 곱이 6 의 배수 이므로 …

n(n+1)(2n+1) = n(n+1){(n-1)+(n+2)} = (n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
∴ 모든 자연수 n 에 대하여 n(n+1)(2n+1) 은 6 의 배수 ^^

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