Sn 과 an 이 함께 있는 점화식

Sn, an 이 함께 들어 있는 점화식에서 an 구하기 → an = Sn-Sn-1 (n = 2,3,4,…)

1) an 대신 Sn-Sn-1 을 대입하여 Sn, Sn-1 의 식으로 고치고 Sn 을 먼저 구한다.
2) 원래의 식에서 n 대신 n-1 을 대입하여 얻은 식을 빼서, 식을 an, an-1 등으로 나타낸다.

☞ Sn-Sn-1 = (a1+a2+…+an-1+an)-(a1+a2+…+an-1) = an (n = 2,3,4, …)

Problem 4-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. a1 = 4, an+1 = 3(a1+a2+…+an) (n = 1,2,3, …) 으로 정의된 수열의 일반항 an 을 구하시오.
    2. (답) a1 = 4, an = 3·4n-1 (n = 2,3,4, …)

    1) an+1 = 3(a1+a2+…+an) ⇔ Sn+1-Sn = 3Sn ⇔ Sn+1 = 4Sn ← an+1 = Sn+1-Sn
    2) Sn+1 = 4Sn → 수열 {Sn} 은 공비 4 인 등비수열 이고 S1 = 4    ∴ Sn = 4·4n-1 = 4n
    3) an = Sn-Sn-1 (n = 2,3,4,…) → an = 4n-4n-1 = (4-1)4n-1 = 3·4n-1 (n = 2,3,4, …)
    4) a1 = 4 이므로 …, 일반항 an = 3·4n-1 (n = 2,3,4, …) 이고 a1 = 4^^

    ☞ an = Sn-Sn-1 (n =2,3,4, …), a1 = S1



  2. a1 = 1, 2Sn = nan+1 (n = 1,2,3, …) 로 정의된 수열의 제 100 항 a100 을 구하시오.
    3. (답) a100 = 100

    1) 2Sn = nan+1 ⇔ 2Sn = n(Sn+1-Sn) ⇔ nSn+1 = (n+2)Sn ⇔ Sn+1 = {(n+2)/n}Sn (n = 1,2,…)
    2) Sn = {(n+1)/(n-1)}Sn-1 = {(n+1)/(n-1)}{n/(n-2)}Sn-2 = …
    3) Sn = {(n+1)/(n-1)}{n/(n-2)}{(n-1)/(n-3)}…(4/2)(3/1)S1 ← S1 = a1 = 1
    4) Sn = {(n+1)n(n-1)(n-2)…4·3}/{(n-1)(n-2)(n-3)…2·1}·1 = n(n+1)/2
    5) a100 = S100-S99 = 100·101/2 - 99·100/2 = 5050-4950 = 100 ^^ 

    ☞ 1+2+3+…+n = (1/2)n(n+1)



  3. a1 = 1, an+1 = Sn+1 (n = 1,2,3, …) 로 정의된 수열 {an} 의 일반항을 구하시오.
    4. (답) an = 2n-1 (n = 1,2,3, …)

    1) an+1 = Sn+1 (n = 1,2,3, …) …㉠ 에서 → an = Sn-1+1 (n = 2,3,4, …) …㉡
    2) ㉠, ㉡ 을 변 끼리 빼면 → an+1-an = Sn-Sn-1 (n = 2,3,4, …)
    3) an+1-an = an ⇔ an+1 = 2an (n = 2,3,4, …) → a2, a3, a4, … 는 공비 2 인 등비수열
    4) a1 = 1, a2 = s1+1 = a1+1 에서 a2 = 2
    5) {an} : 1, 2, 4, 8, …    ∴ 수열 {an} 의 일반항 an = 2n-1 (n = 1,2,3, …) ^^

    ☞ an+1 = ran (n = 1,2,3,  …)  → 수열 {an} 은 공비 r 인 등비수열



  4. a1= 4, an+1 = Sn-n+2 (n = 1,2,3, …) 로 정의된 수열 {an} 의 일반항을 구하시오.
    5. (답) a1 = 4, an = 1+2n (n= 2,3,4, …)

    1) an+1 = Sn-n+2 (n = 1,2,3, …) …㉠ 에서 → an = Sn-1-(n-1)+2 (n = 2,3,4, …) …㉡
    2) ㉠, ㉡ 을 변 끼리 빼면 → an+1-an = (Sn-Sn-1)-1 ⇔ an+1-an = an-1 (n = 2,3,4, …)
    3) an+1 = 2an-1 (n = 2,3,4, …) ⇔ an+1-1 = 2(an-1) (n = 2,3,4, …)
    4) a2 = S1-1+2 = 4+1 = 5 ← an+1 = Sn-n+2,  a1 = S1 = 4
    5) 수열 {an-1} : 3, 4, 8, 16,{an-1}
    6) 수열 {an-1} 은 첫째 항 3, 둘째 항 4 이고 둘째 항부터 공비 2 인 등비수열을 이루므로
    7) an-1 = 4·2n-2 (n= 2,3,4, …) → a1 = 4, an = 1+2n (n = 2,3,4, …) ^^

    ☞ {an-1} : 3, 4, 8, 16, … → {an} : 4, 5, 9, 17,  …

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Update 2001년 02월 21일 수학선생님® 수학교육연구©