a_n+2-(1+α)a_n+1+αa_n = 0 과 응용

Problem 4-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. a₁ = 2, a₂ = 3, a_n+2-3a_n+1+2a_n = 0 (n = 1,2,3, …)으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오.
(답) a_n = 2^n-1+1 (n = 1,2,3, …)

1) a_n+2-3a_n+1+2a_n = 0 ⇔ a_n+2-a_n+1 = 2(a_n+1-a_n) 에서 a_n+1-a_n = b_n 으로 놓으면 …
2) b_n+1 = 2b_n 이고 b₁ = a₂-a₁ = 1 이므로 계차수열 {b_n} 은 첫째 항 1, 공비 2 인 등비수열
3) a_n = a₁+(b₁+b₂+ … +b_n-1) → a_n = 2+(1+2+2²+2³+ … +2^n-2)
4) a_n = 2+(2^n-1-1)/(2-1)    ∴ a_n = 2^n-1+1 (n = 1,2,3, …) ^^

☞ 등비수열의 n 항까지의 합 → S_n = a+ar+ar²+ … +ar^n-1 = a(rⁿ-1)/(r-1)




2. a₁ = 1, a₂ = 2, 2a_n+2 = a_n+1+a_n (n = 1,2,3, …)으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오.　
(답) a_n = {5-2(-1/2)^n-1}/3 (n = 1,2,3, …)

1) 2a_n+2 = a_n+1+a_n ⇔ 2(a_n+2-a_n+1) = -(a_n+1-a_n) 에서 a_n+1-a_n = b_n 으로 놓으면 …
2) b_n+1 = (-1/2)b_n, b₁ = a₂-a₁ = 1 → 계차수열 {b_n} 은 첫째 항 1, 공비 -1/2 인 등비수열
3) a_n = a₁+(b₁+b₂+ … +b_n-1) → a_n = 1+{1+(-1/2)+(-1/2)²+(-1/2)³+ … +(-1/2)^n-2}
4) a_n = 1+{1-(-1/2)^n-1}/{1-(-1/2)} = 1+{1-(-1/2)^n-1}/(3/2)
5) a_n = 1+(2/3){1-(-1/2)^n-1}    ∴ a_n = {5-2(-1/2)^n-1}/3 ^^

☞ pa_n+2+qa_n+1+ra_n = 0 ⇔ a_n+2-(1+α)a_n+1+αa_n = 0 이 될 조건 → p+q+r = 0




3. a₁ = 1, a₂ = 2, a_n+2-2a_n+1+a_n = 1 (n = 1,2,3,…)으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오.
(답) a_n = (n²-n+2)/2  (n = 1,2,3, …)

1) a_n+2-a_n+1+a_n = 1 ⇔ (a_n+2-a_n+1)-(a_n+1-a_n) = 1 에서 a_n+1-a_n = b_n 으로 놓으면 …
2) b_n+1-b_n = 1 이고 b1 = a₂-a₁ = 1 이므로 계차수열 {b_n} 은 첫째 항, 공차 1 인 등차수열
3) a_n = a₁+(b₁+b₂+ … +b_n-1) → a_n = 1+{1+2+3+ … +(n-1)}
4) a_n = 1+(1/2)n(n-1)    ∴ a_n = (n²-n+2)/2 ^^

☞ a_n+2-2a_n+1+a_n = d ⇔ (a_n+2-a_n+1)-(a_n+1-a_n) = d → 계차수열이 공차 d 인 등차수열




4. 모든 자연수 n 에 대하여 a_n+2-αa_n+1 = β(a_n+1-αa_n) 를 만족하는 수열 {a_n} 이 있다. a₁ = a₂ = 1, α+β = 1 (α≠β) 일 때 a_n = (αⁿ-βⁿ)/(α-β) 임을 증명하시오.
(증명)　

1) a_n+2-αa_n+1 = β(a_n+1-αa_n) 에서 수열 {a_n+1-αa_n} 은 공비 β 인 등비수열
2) {a_n+1-αa_n} 의 첫째 항이 a₂-αa₁ = 1-α = β → a_n+1-αa_n = β·β^n-1   ∴ a_n+1-αa_n = βⁿ …㉠
3) a_n+2-αa_n+1 = β(a_n+1-αa_n) ⇔ a_n+2-βa_n+1 = α(a_n+1-βa_n)
4) 수열 {a_n+1-βa_n} 은 공비 α 인 등비수열 이므로 마찬가지로 생각하여 a_n+1-βa_n = αⁿ …㉡
5) ㉠, ㉡ 을 변끼리 빼면 → (β-α)a_n = βⁿ-αⁿ     ∴ a_n = (αⁿ-βⁿ)/(α-β) ^^

☞ a_n+2-(α+β)a_n+1+αβa_n= 0 ⇔ a_n+2-αa_n+1 = β(a_n+1-αa_n) ⇔ a_n+2-βa_n+1 = α(a_n+1-βa_n)

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