an+1 = f(n)an 과 응용

an+1 = f(n)an 에서 an 구하기 → f(n) = r (r은 상수) 이면 등비수열이 됩니다.^^

1) an+1 = f(n)an 에 n = 1,2,3, …, n-1 를 대입하여 얻은 식을 변끼리 곱한다.
2) an = f(n-1)an-1 = f(n-1)f(n-2)an-2 = f(n-1)f(n-2)f(n-3)an-3 = … = f(n-1)f(n-2)…f(1)a1

n≥2 인 자연수 n 에 대하여 an = f(n-1)an-1 이면 …
a2 = f(1)a1 , a3 = f(2)a2 에서 a3 = f(2)f(1)a1 이므로

☞ an = f(n-1)f(n-2)f(n-3)…f(2)f(1)a1

Problem 4-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. a1 = 1, an+1 = (n+1)an (n = 1,2,3, …) 으로 주어진 수열의 일반항 an 을 구하시오.
    2. (답) an = n! (n =1,2,3, …)

    1) an = nan-1 = n·(n-1)an-2 = n·(n-1)·(n-2)an-3 = … = n·(n-1)·(n-2)…2·a1
    2) an = n·(n-1)·(n-2)…2·1 = n! ^^

    ☞ 1×2×3×…×n = n! → n계승 또는 n factorial 이라고 읽습니다.^^



  2. a1 = 2, an = 2nan-1 (n = 2,3,4, …) 으로 주어진 수열의 일반항 an 을 구하시오.
    3. (답) an = 2(1/2)n(n+1) (n=1,2,3, …)

    1) an = 2nan-1 = 2n×2n-1an-2 = 2n×2n-1×2n-3an-3 = … = 2n×2n-1×2n-3×…×22a1
    2) an = 2n×2n-1×2n-3×…×22×2 = 2n+(n-1)+(n-2)+…+2+1 = 21+2+3+…+n = 2(1/2)n(n+1) ^^

    ☞ 1+2+3+ … + n = (1/2)n(n+1)



  3. a1 = 2, an+1 = {n/(n+1)}an (n = 1,2,3, …) 로 주어진 수열 {an} 의 일반항 an 을 구하시오.
    4. (답) an = 2/n (n = 1,2,3,…)
    an = {(n-1)/n}an-1 = {(n-1)/n}{(n-2)/(n-1)}an-2 = {(n-2)/n}an-2

    = {(n-2)/n}{(n-3)/(n-2)}an-3 = {(n-3)/n}an-3

    = {(n-3)/n}{(n-4)/(n-3)}an-4 = {(n-4)/n}an-4
    …………………………………………………………
    = {(1/n)}a1 = (1/n)×2 = 2/n     ∴ an = 2/n ^^

    ☞ an = f(n-1)an-1 이면 an-1 = f(n-2)an-2 이므로 an = f(n-1)(n-2)an-2


  4. a1 = 1, (n+2)an-nan+1 = 0 (n = 1,2,3, …) 로 정의된 수열 {an} 에서 을 구하시오.
    5. (답) 49/25

    1) (n+2)an-nan+1 = 0 ⇔ an+1 = {(n+2)/n}an
    2) an = {(n+2)/n}{(n+1)/(n-1)}{n/(n-2)}…{(3/1)}a1 ← a1 = 1
    3) an = {(n+2)(n+1)n…4·3}/{n(n-1)(n-2)…3·2·1} = (n+2)(n+1)/(2·1) = (n+1)(n+2)/2
    4)

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Update 2001년 02월 18일 수학선생님® 수학교육연구©