a_n+1 = pa_n+q 로 주어진 수열

Problem 4-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n+3 으로 정의된 수열 {a_n} 의 일반항을 구하시오.　
(답)　a_n = 2ⁿ⁺¹-3 (n = 1,2,3, …)

1) a_n+1 = 2a_n+3 …㉠ 에서 α = 2α+3  …㉡ → α = -3
2) ㉠, ㉡ 을 변끼리 빼면 → a_n+1-α = 2(a_n-α) ⇔ a_n+1+3 = 2(a_n+3) …㉢
3) ㉢ → 수열 {a_n+3} 은 공비가 2 인 등비수열
4) a_n+3 = (a₁+3)·2^n-1 ⇔ a_n+3 = 4·2^n-1     ∴ a_n = 2ⁿ⁺¹-3 ^^

a_n+1 = 2a_n+3 에서 a_n+1, a_n 을 x 로 놓아 만든 방정식,
 x = 2x+3 을 점화식의 특성방정식이라고 합니다. ^^




2. 수열 {a_n} 의 n 항까지의 합 S_n 이 S₁ = 3, S_n+1 = 2S_n-1 를 만족할 때, 수열 {a_n}의 일반항 a_n 을 구하시오.
(답) a₁ = 3, a_n = 2^n-1 (n≥2)

1) S_n+1 = 2S_n-1 …㉠ 에서 α = 2α-1  …㉡ → α = 1
2) ㉠, ㉡ 을 변끼리 빼면 → S_n+1-α = 2(S_n-α) ⇔ S_n+1-1 = 2(S_n-1) …㉢
3) ㉢ → 수열 {S_n-1} 은 공비가 2 인 등비수열
4) S_n-1 = (S₁-1)·2^n-1 ⇔ S_n-1 = 2·2^n-1 ⇔ S_n = 2ⁿ+1
5) a_n = S_n-S_n-1 (n≥2) → a_n = (2ⁿ+1)-(2^n-1+1) = 2ⁿ-2^n-1 = 2·2^n-1-2^n-1 = 2^n-1 (n≥2)
6) a₁ = S₁ = 3 이므로 수열 {a_n} 의 일반항은 … → a₁ = 3, a_n = 2^n-1 (n≥2) ^^

☞ S_n 을 알 때, {a_n} 의 항 구하기 → a₁ = S1, a_n = S_n-S_n-1 (n≥2)




3. a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n/(a_n+2) 으로 주어진 수열 {a_n}의 일반항 a_n 을 구하시오.
(답) a_n = 2/(n+1) (n =1,2,3, …)

1) a_n+1 = 2a_n/(a_n+2) 의 양변을 역수로 … → 1/a_n+1 = (a_n+2)/2a_n ⇔ 1/a_n+1 = 1/a_n +1/2
2) 1/a_n+1 = 1/a_n +1/2 → 수열 {1/a_n} 은 공차가 1/2 인 등차수열
3) 1/a_n = 1/a₁ + (n-1)(1/2) = 1/1+(n-1)(1/2) =(n+1)/2    ∴ a_n = (n+1)/2 (n≥1) ^^ 

☞ 수열 {a_n} 이 첫째 항 a, 공차 d 인 등차수열 → a_n = a+(n-1)d ^^




4. a₁ = 1, a_n+1 = a_n/(a_n+3) 으로 주어진 수열 {a_n}의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = 2/(3ⁿ-1) (n = 1,2,3, …)

1) a_n+1 = a_n/(a_n+3) 의 양변을 역수로 … → 1/a_n+1 = (a_n+3)/a_n ⇔ 1/a_n+1 = 3/a_n +1
2) 1/a_n+1 = 3/a_n +1 …㉠ 의 1/a_n+1, 1/a_n 을 α 로 놓으면 α = 3α+1…㉡ → α = -1/2
3) ㉠, ㉡ 을 변끼리 빼면 → 1/a_n+1 - α = 3(1/a_n - α)
4) 수열 {1/a_n - α} 는 공비 3 인 등비수열 이므로 1/a_n - α = (1/a₁ - α)·3^n-1
5) a1 = 1, α = -1/2 이므로 1/a_n + 1/2 = (3/2)3^n-1 ⇔ 1/a_n = (3ⁿ-1)/2    ∴ a_n = 2/(3ⁿ-1) ^^

☞ a_n+1 = pa_n/(qa_n+r) 꼴의 점화식 → 양변을 역수로 하면 b_n+1 = p′b_n+q′ 꼴 (b_n = 1/a_n)

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