a_n+1-a_n = f(n) 과 응용

Problem 4-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. a₁ = 7, a_n+1 = a_n+4n (n = 1,2,3, …) 으로 정의된 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) 2n²-2n+7

1) a_n+1-a_n = 4n → b_n = 4n
2) a_n = a₁+b_k → a_n = 7+4k = 7+4k = 7+4×(1/2)n(n-1) = 2n²-2n+7

☞ k = (1/2)n(n+1) → k = (1/2)n(n-1)




2. a1 = 1, a_n+1 = a_n+4ⁿ (n = 1,2,3, …) 으로 정의된 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = (4ⁿ-1)/3

1) a_n+1-a_n = 4n → b_n = 4n
2) a_n = a₁+b_k → a_n = 1+4^k = 1 + (4¹+4²+4³+ … +4^n-1) = 1 + 4¹(4^n-1-1)/(4-1)
3) a_n = 1 + (4ⁿ-4)/3 = (4ⁿ-1)/3 ^^

☞ a_n = a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+ … + (a_n-a_n-1) = a₁+(b₁+b₂+…+b_n-1) = a₁+b_k




3. a₁ = 1, na_n+1 = (n+1)a_n+1 (n = 1,2,3, …) 로 정의된 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = 2n-1

1) na_n+1 = (n+1)a_n+1 의 양변을 n(n+1) 로 나누면 …
2) a_n+1/(n+1) = a_n/n + 1/{n(n+1)} → a_n+1/(n+1)-a_n/n = 2/{n(n+1)} 에서 …
3) 2/{n(n+1)} 은 수열 {a_n/n} 의 계차수열의 제n 항
4) a_n/n = a₁/1 +1/{k(k+1)} = 1/1 +{1/k - 1/(k+1)}
5) a_n/n = 1+{(1/1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+ … +{1/(n-1) - 1/n} = 1+(1/1 - 1/n)
6) a_n/n = 2-1/n 의 양변에 n 을 곱하면 a_n = 2n-1 ^^

☞ 수열 {f(n)a_n} : f(1)a₁, f(2)a₂, f(3)a₃, …  의 계차수열의 제n 항 → f(n+1)a_n+1-f(n)a_n




4. a₁ = 1, a_n+1 -3a_n = 2ⁿ (n = 1,2,3, …) 으로 주어진 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = 3ⁿ-2ⁿ (n = 1,2,3, …)

1) a_n+1 -3a_n = 2ⁿ 의 양변을 3ⁿ⁺¹ 으로 나누면 a_n+1/3ⁿ⁺¹ - a_n/3ⁿ = (1/3)(2/3)ⁿ
2) 수열 {a_n/3ⁿ} 의 계차수열의 제n 항이 (1/3)(2/3)ⁿ 이므로 …
3) a_n/3ⁿ = a₁/3¹ +(1/3)(2/3)^k = 1/3 + (1/3){(2/3)¹+(2/3)²+(2/3)³+…+(2/3)^n-1}
4) a_n/3ⁿ = 1/3 + (1/3){(2/3){1-(2/3)^n-1}/{1-(2/3)}
5) a_n/3ⁿ = 1/3 + (2/3){1-(2/3)^n-1} = 1-(2/3)ⁿ
6) a_n/3ⁿ = 1-(2/3)ⁿ 의 양변에 3ⁿ 을 곱하면 a_n = 3ⁿ-2ⁿ ^^

☞ 모든 자연수 n 에 대하여 a_n+1-a_n = f(n) 이면 → a_n = a₁+f(k)

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