등차수열과 등비수열의 점화식
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1. 등차수열의 점화식
1) an+1-an = d (n = 1,2,3, …) ⇔ an-an-1
= d (n = 2,3,4, …) → d 는 등차수열의 공차
2) 2an+1 = an+an+2 (n≥1) ⇔ 2an = an-1+an+1
(n≥2) → an+1 은 an, an+2 의 등차중항
2. 등비수열의 점화식
1) an+1 = ran (n = 1,2,3, …) ⇔ an =
ran-1 (n = 2,3,4, …) → r 는 등비수열의 공비
2) an+12 = an·an+2 (n≥1) ⇔ an2 = an-1·an+1
(n≥2) → an+1 은 an, an+2 의 등비중항
| ☞ 점화식(recursion formula)
수열의 항과 항 사이에 성립하는 관계를 나타내는 식
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Problem 4-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이
나옵니다.
- a1 = 2, an+1-an = 3 (n = 1,2,3, …) 으로 정의된 수열 {an}의
일반항 an 을 구하시오.
(답) a n = 3n-1 (n =1,2,3, …)
수열 {an}은 첫째 항이 2, 공차가 3 인 등차수열 이므로 an = 2+(n-1)·3 = 3n-1 ^^
☞ an = an-1+3 = (an-2+3)+3 = {(an-3+3)+3}+3 = … = a1+3(n-1) = 2+3(n-1) = 3n-1
☞ 모든 자연수 n 에 대하여 an+1-an = d (d 는 상수) →
수열 {an} 은 공차 d 인 등차수열
- a1 = 4, an+1 = 2an (n = 1,2,3, …) 으로 정의된 수열 {an}의
일반항 an 을 구하시오.
(답) a n = 2 n+1 (n = 1,2,3, …)
수열 {an}은 첫째 항이 4, 공비가 2 인 등비수열 이므로 an = 4·2n-1 = 2n+1
^^
☞ an = 2an-1 = 2(2an-2) = 2{2(2an-3)} = … = 2n-1a1 = 2n-1·4
= 2n+1
☞ 모든 자연수 n 에 대하여 an+1 = ran (r 은 상수) →
수열 {an} 은 공비 r 인 등비수열
- a1 = 3, an-an+1 = 2anan+1 (n = 1,2,3, …) 로 정의된
수열 {an}의 일반항 an 을 구하시오.
(답) a n = 3/(6n-5)
1) an-an+1 = 2anan+1 의 양변을 anan+1 로 나누면
1/an+1 - 1/an = 2 (n = 1,2,3, …)
2) 수열 {1/an} 은 첫째 항 1/a1 = 1/3 이고 공차가 2 인 등차수열
3) 수열 {1/an} 의 n 째항 1/an = 1/3 +2(n-1) = {1+6(n-1)}/3 = (6n-5)/3 ∴ an = 3/(6n-5) ^^
☞ 수열 {1/an} 이 등차수열 → 수열 {an}
은 조화수열
- a1 = 1, a2 = 3, 2an+1 = an+an+2 (n = 1,2,3, …)로 정의된
수열 {an}의 일반항 an 을 구하시오.
(답) a n = 2n-1 (n = 1,2,3, …)
1) 2an+1 = an+an+2 ⇔ an+2-an+1 = an+1-an
(n =1,2,3, …)
2) an+2-an+1 = an+1-an = an-an-1 = … = a2-a1 = 3-1
= 2
3) 모든 자연수 n 에 대하여 an+1-an = 2 → 수열 {an} 은 공차 2 인 등차수열
4) 첫째 항 a1 = 1, 공차 d = 2 인 등차수열의 일반항 an = 1+(n-1)·2 = 2n-1 ^^
☞ a, x, b 가 등차수열 ⇔ x-a = b-x ⇔ 2x = a+b →
x 는 a, b 의 등차중항
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