군 수열의 일반항과 합

Problem 3-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 모든 홀수를 써서 만든 군 수열 (1), (3,5), (7,9,11), … 이 있다. 이 수열의 제10 군의 제7 항을 구하시오.
(답) 103

1) 군을 풀었을 때… 제10 군의 제7 항은 제 (1+2+3+…+9)+7 항이 됩니다.
2) (1+2+3+…+9)+7 = 45+7 = 52 (항)
3) 수열 1, 3, 5, 7, 9, … 은 첫째 항 1, 공차 2인 등차수열 이므로 …
4) 제 52항은 1+(52-1)×2 = 1+102 = 103 ^^

☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 일반항 → a_n = a+(n-1)d




2. 수열 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, … 에서 16/15 는 제 몇 항인가?
(답) 제 451항

1) 1/1, (1/2, 2/1), (1/3, 2/2, 3/1), (1/4, 2/3, 3/2, 4/1),… 와 같이 군으로 나눕니다.^^
2) 각 군의 분자는 1씩 증가하고  분모는 1씩 감소합니다. → 각 군의 분모, 분자의 합이 일정.
3) 1군의 분모분자의 합 = 2, 2군의 분모분자의 합 = 3, … 이므로
4) 16/15 의 분모와 분자의 합이 31  → 16/15 는 30 군의 16째 항.
5) 1+2+3+…+29 + 16 = (29/2)(1+29) +16 = 435+16 = 451 (항) ^^

a₁, (a₂. a₃), (a₄, a₅, a₆), (a₇, a₈, a₉, a₁₀), … 에서
1군 부터 n 군까지의 항의 개수 = 1+2+3+ … + n ^^




3. 수열 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 1/16, 3/16, … 에서 9/2²⁰ 은  몇째 항인가?
(답) 2¹⁹+4 항

1) (1/2), (1/4, 3/4), (1/8, 3/8, 5/8, 7/8), (1/16, 3/16, …, 15/16), … 같이 군으로 나눕니다.
2) 분모가 2ⁿ 인 분수는 n 군에 속하고, 각 군에는 2^n-1 개의 분수가 들어 있습니다.
3) 분자는 첫째 항이 1 공차가 2 인 등차수열을 이룹니다.
4) 9/2²⁰ 의 분모가 2²⁰ 이고 분자가 9 이므로 20 군의 5 째 항입니다.
5) 2⁰+2¹+2²+…+2¹⁸ + 5 = 2⁰(2¹⁹-1)/(2-1) + 5 = (2¹⁹-1)+5 = 2¹⁹+4 ^^

☞ a+ar+ar²+ar³+ … + ar^n-1 = a(rⁿ-1)/(r-1)





4. 1	2	3	…	10
   2	4	6	…	20
   3	6	9	…	30
   …	…	…	…	…
   10	20	30	…	100

   오른 쪽 그림과 같이 100 개의 자연수를 직사각형 모양으로 배열하였다.  이 100 개의 자연수의 총합 S 를 구하시오.
(답) 3025

1) 첫째 줄에 있는 10 개의 수의 합 = 1+2+3+…+10 = 55
2) 둘째 중에 있는 10 개의 수의 합 = 2(1+2+3+…+10) = 2×55
3) S = 55 + 2×55 + 3×55 + 4×55 + … + 10×55 = (1+2+3+…+10)×55 = 55² = 3025 ^^

☞ 1+2+3+…+n = (1/2)n(n+1)

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