여러 가지 수열의 합

1. 등차, 등비수열의 합 → 공식을 이용합니다.^^ 1) 등비수열의 합 : Sn = (n/2)(a+l) = (n/2){2a+(n-1)d} 2) 등차수열의 합 : Sn = a(rn-1)/(r-1) = a(1-rn)/(1-r) (r≠1) 2. 기타 수열의 합 : Sn = a1+a2+a3+…+an =ak 를 이용. ← an = a1+bk (n = 2,3,4, …) 3. 멱급수 : S-xS = (등비수열의 합) + α 를 이용 4. 분수수열, 근호가 있는 수열 의 합 : 이항분리하여 합을 구한다. 3)

Problem 3-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 수열 1², 4², 7², 10², 13², … 의 제n 항까지의 합 S_n 을 구하시오.
(답) (1/2)n(6n²-3n-1)

1) 수열 1, 4, 7, 10, …은 첫째 항 1, 공차 3 인 등차수열 → n째 항은 1+(n-1)·3 = 3n-1
2) 수열 1², 4², 7², 10², 13², … 의 일반항 → a_n = (3n-2)²
3) S_n =a_k 에서 S_n =(3k-2)² =(9k²-12k+4) = 9k² -12k +4n
4) S_n = 9(1/6)n(n+1)(2n+1) - 12(1/2)n(n+1) +4n = (3/2)(2n³+3n²+n)-6(n²+n)+4n
5) S_n = 3n³-(3/2)n²-(1/2) = (1/2)n(6n²-3n-1) ^^

☞ k = 1+2+3+ … +n = (1/2)n(n+1), k² = 1²+2²+3²+ … +n² = (1/6)n(n+1)(2n+1)

2. S =(제 99항) 일 때, S 를 구하시오.　
(답) 9



☞




3. 수열 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, …  의 제10 항까지의 합을 구하시오.
(답) 220

1) 제k 항 a_k = 1+2+3+ … + k = (1/2)k(k+1)
2) S₁₀ = (1/2)k(k+1) = (1/2)×(1/3)×10×11×12 = 220 ^^

☞k(k+1) = (1/3)n(n+1)(n+2), k(k+1)(k+2) = (1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)




4. S = 1·10 + 3·9 + 5·8 +7·7 + … + 19·1 일 때, S 를 구하시오.
(답) 385

1) 1, 3, 5, 7, … , 19 의 제k 항 = 1+(k-1)·2 = 2k-1 이고 19 는 제10 항
2) 10, 9, 8. 7, … 의 제k 항 = 10+(k-1)·(-1) = -k+11
3) 1·10, 3·9, 5·8, 7·7, …, 19·1 의 제k 항 a_k = (2k-1)(-k+11) = -2k²+23k-11
4) S =(-2k²+23k-11) = -2k² +23k - 110
5) S = -2(1/6)×10×11×21 + 23×(1/2)×10×11 - 110 = -770+1265-110 = 385 ^^

☞ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + … + a_nb_n = a_kb_k





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