멱급수와 분수수열의 합

1. 멱급수(power series) →a_kx^k-1 = a₁+a₂x+a₃x²+ … + a_nx^n-1 꼴의 식을 멱급수라고…
2. 멱급수의 합 구하기 → S_n = a₁+a₂x+a₃x²+ … + a_nx^n-1 의 양변에 x 를 곱하고 변끼리 뺀다.

3. 분수수열의 합 구하기 → 항을 두 개로 나누어 더한다.

수열의 각 항을 + 기호로 연결한 식을 급수(級數)라고 합니다. '멱급수' 에서 멱(冪, power)은 거듭제곱을 나타내는 말입니다. 예) x³ 에서 x 의 멱은 3

Problem 3-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

x = 1/2 일 때, 멱급수 S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + … + 30x²⁹ 의 합을 구하시오.

(답) 4-2^-24

1) S-xS = (1+2x+3x²+4x³+ … + 30x²⁹)-(x+2x²+3x³+4x⁴+ … +29x²⁹+ 30x³⁰)
2) (1-x)S = (1+x+x²+x³+… + x²⁹)-30x³⁰ = (1-x³⁰)/(1-x) - 30x³⁰ (단, x = 1/2)
3) (1/2)S = 2(1-2^-30)-30·2^-30 → S = 4(1-2^-30)-60·2^-30 = 4- 64·2^-30 = 4-2⁶·2^-30 = 4-2^-24 ^^

☞ 등비수열의 합 → a+ar+ar²+ … + ar^n-1 = a(1-rⁿ)/(1-r) (단, r≠1)

S = 1 + 3·2 + 5·2² + 7·2³ + … + (제10항) 일 때, S 를 구하시오.

(답) 17·2¹⁰+3

1) 2S-S = (2¹+3·2²+5·2³+7·2⁴+ … +17·2⁹+19·2¹⁰)-(1+3·2¹+5·2²+7·2³+ … +19·2⁹)
2) S = -1-2(2¹+2²+2³+ … +2⁹)+19·2¹⁰ = -1-2²(2⁹-1)/(2-1)+19·2¹⁰
3) S = -1-(2·2¹⁰-2²)+19·2¹⁰ = 17·2¹⁰+3 ^^

☞ S = a₁+a₂x+a₃x²+ … + a_nx^n-1 일 때, S-xS = (등비수열의 합)+ α 꼴이 됩니다.^^

S = 1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + 1/(7·9) + … +1/(19·21) 일 때, S 를 구하시오.

(답)　10/21

1) S = (1/1-1/3)(1/2) + (1/3-1/5)(1/2) + (1/5-1/7)(1/2) + … + (1/19-1/21)(1/2)
2) S = {(1/1-1/3) + (1/3-1/5) + (1/5-1/7) + … + (1/19-1/21)}(1/2)
3) S = (1/1-1/21)(1/2) = (20/21)(1/2) = 10/21 ^^

☞ 분수수열의 합은 항을 두 개로 나누어 계산 → 1/A·B = (1/A-1/B)·{1/(B-A)}

S = 1/(1·3·5) + 1/(3·5·7) + 1/(5·7·9) + … + 1/(19·21·23) 일 때, S 를 구하시오.

(답) 40/483

1) S = (1/4)[{1/(1·3)-1/(3·5)}+{1/(3·5)-1/(5·7)}+ … +{1/(19·21)-1/(21·23)}]
2) S = (1/4)[1/(1·3)-1/(21·23)] = (1/4)[161/(21·23)-1/(21·23)] = (1/4)×(160/483) = 40/483

☞ 한 개의 항을 두 개로 나누는 것을 '이항분리.' 라고 합니다.^^

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