수열 {a_n} 의 계차수열과 일반항 a_n

1. 수열 {an} 의 계차수열 → {an+1-an} : a2-a1, a3-a2, a4-a3, …, an+1-an, … 예) 수열 {n2} : 1, 4, 9, 16, …, n2, … 의 계차수열  → {(n+1)2-n2} : 1, 3, 5, 7, …, 2n+1, … 2. {an} 의 계차수열을 이용하여 일반항 an 구하기 an+1-an = bn 이라고 놓으면 an = a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…(an-an-1) 이므로 … an = a1+(b1+b2+b3+…+bn-1) ⇔ an = a1+bk (n = 2,3,4, …)

Problem 3-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 수열 {a_n} : 1, 4, 11, 22, 37, 56, … 의 일반항 a_n 을 구하시오.
(답) a_n = 2n²-3n+2

1) a_n+1-a_n = b_n 이라고 하면 …, 수열 {b_n} : 3, 7, 11, 15, 18, … → 등차수열 입니다.^^
2) 계차수열 {b_n} 은 첫째 항 3, 공차가 4 인 등차수열이므로 b_n = 3+(n-1)·4 = 4n-1
3) a₁ = 1 이므로 a_n = a₁+b_k (n = 2,3,4, …) 에서 → a_n = 1+(4k-1)
4) a_n = 1+4k - 1·(n-1) = 1+4(1/2)n(n-1)-(n-1) = 2n²-3n+2 ^^

k = (1/2)n(n+1) → k = (1/2)(n-1)n




2. 수열 {a_n} : 3, 5, 9, 17, 33, 65, … 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = 2ⁿ+1

1) a_n+1-a_n = b_n 이라고 하면 …, 수열 {b_n} : 2, 4, 8, 16, 32, … → 등비수열 입니다.^^
2) {b_n} 은 첫째 항 2, 공비 2 인 등비수열 이므로 b_n = 2×2^n-1 = 2ⁿ
3) a₁ = 3 이므로 a_n = a₁+b_k (n = 2,3,4, …) 에서 → a_n = 3+2^k
4) a_n = 3+(2¹+2²+2³+…+2^n-1) = 3 + 2(2^n-1-1)/(2-1) = 3+(2ⁿ-2) = 2ⁿ+1 ^^

☞ 첫째 항 a, 공비 r 인 등비수열 {a_n} → a_n = ar^n-1, S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)




3. 수열 {a_n} : 1, 9, 29, 67, 129, 221, … 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = n³+n-1

1) a_n+1-a_n = b_n 이라고 하면 …, 수열 {b_n} : 8, 20, 38, 62, 92, … → 등차, 등비수열이 아님.^^
2) b_n+1-b_n = c_n 이라고 하면 …, 수열 {c_n} : 12, 18, 24, 30, … → 등차수열 입니다.^^
3) {c_n} 은 첫째 항 12, 공차 6 인 등차수열 이므로 c_n = 12+(n-1)·6 = 6n+6
4) b₁ = 8 이므로 b_n = b₁+c_k (n = 2,3,4, …) 에서 → b_n = 8+(6k+6)
5) b_n = 8 + 6k + 6(n-1) → b_n = 8 + 6(1/2)n(n-1) + (6n-6) = 3n²+3n+2
6) a₁ = 1 이므로 a_n = a₁+b_k (n = 2,3,4, …) 에서 → a_n = 1+(3k²+3k+2)
7) a_n = 1+3k² + 3k +2(n-1) = 1+3(1/6)n(n-1)(2n-1)+3(1/2)n(n-1)+(2n-2)
8) a_n = 1+(1/2)(2n³-3n²+n)+(3/2)(n²-n)+(2n-2) = n³+n-1 ^^

k² = (1/6)n(n+1)(2n+1) → k² = (1/6)(n-1)n{2(n-1)+1} = (1/6)n(n-1)(2n-1)




4. 수열 {a_n} : 5, 8, 13, 22, 39, 72, … 의 일반항 a_n 을 구하시오.　
(답) a_n = 2ⁿ+n+2

1) a_n+1-a_n = b_n 이라고 하면 …, 수열 {b_n} : 3, 5, 9, 17, 33, … → 등차, 등비수열이 아님.^^
2) b_n+1-b_n = c_n 이라고 하면 …, 수열 {c_n} : 2, 4, 8, 16, … → 등비수열 입니다.^^
3) {c_n} 은 첫째 항 2, 공비 2 인 등비수열 이므로 c_n = 2·2^n-1 = 2ⁿ
4) b₁ = 3 이므로 b_n = b₁+c_k (n = 2,3,4, …) 에서 → b_n = 3+2^k
5) b_n = 3 + (2¹+2²+2³+…+2^n-1) = 3 + {2¹(2^n-1-1)}/(2-1) = 3+(2ⁿ-2) = 2ⁿ+1
6) a₁ = 5 이므로 a_n = a₁+b_k (n = 2,3,4, …) 에서 → a_n = 5+(2^k+1)
7) a_n = 5 + (2¹+2²+2³+…+2^n-1) + (n-1)  = 5 + {2¹(2^n-1-1)}/(2-1) + (n-1)  = 2ⁿ+n+2 ^^

☞ 수열 {a_n} 의 계차수열 {b_n} 의 일반항 → b_n = a_n+1-a_n





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