복리법과 금융문제

1. 복리법에 의한 원리합계 → S = a(1+r)n (원금 = a, 이율 = r, 이자를 계산한 횟수 = n)

☞ 원리합계 = 원금+이자 ← 이자 = 원금×이율

1 년 후의 원리합계 → a+ar = a(1+r)
2 년 후의 원리합계 → a(1+r)+a(1+r)r = a(1+r)2
…………………………………………………………
n 년 후의 원리합계 → a(1+r)n

2. 정기적금과 분할상환

1) 정기적금 → 연이율 r 의 복리로 매년 초에 a 원 씩 적립할 때 …

n 년 말의 적립총액 →

2) 분할상환 → A 원의 빚을 지고, 1 년 후부터 매년 a 원 씩 n 번에 나누어 빚을 갚을 때 …

빚진 돈 A원과 매년 나누어 갚는 돈 a원 사이의 관계 →

Problem 2-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 매년 초에 연이율 r의 복리로 a원씩 n년간 저금할 때, n년 말의 원리합계 S 를 구하시오.
    2. (답)

    1) S = a(1+r)n+a(1+r)n-1+ … + a(1+r)2+a(1+r)
    2) S = a(1+r)+a(1+r)2+ … + a(1+r)n-1+a(1+r)n
    3) S는 첫째 항이 a(1+r), 공비가 1+r 인 등비수열의
       제 n항까지의 합이므로

    ☞ 첫째 항 a, 공비 r인 등비수열의 n 항까지의 합 → Sn = a(rn-1)/(r-1)



  2. 오늘 A 원을 빚지고, 1 년 후부터 매년 a 원씩 나누어 지불하여 n 년 후에 빚을 모두 갚으려고 한다. 이 때, 매년 갚는 돈 a 를 구하시오. (단, 이자계산은 연이율 r 의 1년마다의 복리에 의한다.) 　
    3. (답)

    1) 오늘 빚진 돈의 n년 후의 원리합계 → A(1+r)n…㉠
    2) 오늘부터 1년 뒤에 매년 갚은 돈의 원리합계
        a(1+r)n-1+a(1+r)n-2+…+a(1+r)+a
     = a+a(1+r)+…+a(1+r)n-2+a(1+r)n-1
     = a{(1+r)n-1}/{(1+r)-1} = a{(1+r)n-1}/r …㉡
    3) ㉠, ㉡ 식의 값이 같아야 하므로 a{(1+r)n-1}/r = A(1+r)n    ∴ a = Ar(1+r)n/{(1+r)n-1} ^^

    ☞ 분할상환(할부상환) → 빚을 매월 갚는 경우, 월부상환이라고 합니다.^^



  3. 년 이율 12% 의 3 개월마다의 복리로  매월 10 만원씩 불입하는 5 년 만기의 정기적금에 가입하였다. 적금 만기일에 받을 수 있는 적금총액을 구하시오. (단, 1.0360 = 5.89)
    4. (답) 16,789,000 원

    1) 3개월에 대한 이율 = 12%/4 = 3%, 5년간 저금 횟수 = 60회
    2) S = a(1+r)60+a(1+r)59+…+a(1+r)2+a(1+r)1 = a(1+r){(1+r)60-1}/{(1+r)-1}
    3) S = a(1+r){(1+r)60-1}/r = 105×1.03×(1.0360-1)/0.03
    4) S = 105×1.03×4.89/0.03 = 167.89×105 = 16,789, 000 원

    ☞ 마지막 적금을 불입한 날부터 1개월 후가 적금 만기일이 됩니다.



  4. 어떤 사람이 70 년 후에 손자에게 상속해 주려고, 연이율 16%의 3 개월마다의 복리로 10 만원을 정기예금 하였다. 70 년 후 손자가 받을 수 있는 금액은? (단, 1.04280 = 5.75×104)
    5. (답)　57억 5천만원

    1) 연이율(12개월) 16% → 3개월의 이율은 4% = 0.04
    2) 70년간 이자 계산횟수 → 70×4 = 280회
    3) 70년 후의 원리합계 = 105×(1+0.04)280 = 105×1.04280 = 5.75×109 ^^

    ☞ 원금 a원을 이율 r의 복리로 계산할 때, n기간후의 원리합계 → S = a(1+r)n



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Update 2001년 02월 12일 수학선생님® 수학교육연구©