등비중항, 등비수열의 합

Problem 2-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 등비수열의 합을 구하시오.
   
   (1) 첫째 항이 1, 공비가 1/2, 항 수가 6
   (2) 첫째 항이 2, 공비가 3, 끝 항이 1458
(답) (1) 63/32        (2) 2186

1) S₆ = 1×{1-(1/2)⁶}/{1-(1/2)} = 2{1-(1/2)⁶} = 2-(1/2)5 = 2-(1/32) = 63/32
2) 1458 이 n 번째 항이라고 하면 2×3^n-1 = 1458 ⇔ 3^n-1 = 729 ⇔ 3^n-1 = 3⁶ → n = 7
    S₇ = 2×(3⁷-1)/(3-1) = 3⁷-1 = 2187-1 = 2186 ^^

☞ 등비수열의 합 S_n 을 구하는 공식 적용하기

1) r < 1 일 때 S_n = a×(1-rⁿ)/(1-r) 를 r > 1 일 때는 S_n = a×(rⁿ-1)/(r-1) 를 적용
2) 끝 항이 주어진 경우, arⁿ = r×ar^n-1 = rl 이므로 S_n = (rl-a)/(r-1) ^^




2. 서로 다른 네 수 a, b, c, d 가 등비수열을 이룰 때, 의 값을 구하시오.
(답) 1

1) 공비를 r (r≠1)  이라고 하면 b = ar, c = ar² 이고 c = br, d = br²  이므로
2) (a-b)/(a-c) + (c-d)/(b-d) = (a-ar)/(a-ar²) + (br-br²)/(b-br²)
     = (1-r)/(1-r²) + (r-r²)/(1-r²) = (1-r²)/(1-r²) = 1 ^^

☞ a, b, c, d 가 공비 r 인 등비수열 일 때 d 는 … → d = cr = br² = ar³ ^^




3. 첫째 항부터 제 n 항까지의 합이 S_n = 2ⁿ⁺¹-2 으로 주어진 수열은 공비가 2 인 등비수열 임을 밝히시오. 　
(증명)　

1) a_n = S_n-S_n-1 (n≥2) → a_n = (2ⁿ⁺¹-2)-(2ⁿ-2) = 2ⁿ⁺¹-2ⁿ = 2ⁿ 에서 a_n = 2ⁿ (n≥2) …㉠
2) a₁ = S₁ → a₁ = 2²-2 = 2 …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 a_n = 2ⁿ (n≥1) 이므로  a_n+1/a_n = 2ⁿ⁺¹/2ⁿ = 2 (n≥1)
4) 모든 자연수 n 에 대하여 a_n+1 = 2a_n 이 성립하므로 수열 {a_n} 은 공비가 2 인 등비수열. ^^

☞ 수열 {a_n} 이 공비가 r 인 등비수열 → a_n+1 = ra_n (n≥1) ⇔ a_n = ra_n-1 (n≥2)




4. 수열 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … 의 첫째 항부터 제 n 항까지의 합과 1 과의 차가 0.01 보다 작아지도록 하는 n 의 최소값을 구하시오.
(답) 7

1) S_n = (1/2){1-(1/2)ⁿ}/{1-(1/2)} = 1-(1/2)ⁿ < 1
2) |S_n-1|= 1- S_n = 1-{1-(1/2)ⁿ} = (1/2)ⁿ < 0.01 ⇔ 1/2ⁿ < 1/100 ⇔ 2ⁿ >100
3) 2⁷ = 128 이므로 2ⁿ >100 을 만족하는 자연수 n 은 7, 8, 9, …    ∴ n 의 최소값은 7 ^^

☞ r<1 일 때 등비수열의 합 S_n 을 구하려면 → S_n = a(1-rⁿ)/(1-r)





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