등비수열의 일반항

Problem 2-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 등비수열의 일반항 a_n 을 구하시오.
   
   (1) 32, 8, 2, 1/2, …        (2) a₁ = 4, a_n+1 = 2a_n (n = 1, 2, 3, …)
(답) (1) a_n = 2^-2n+7     (2) a_n = 2ⁿ⁺¹

(1) a = 32, r = 1/4 ⇔ a = 2⁵, r = 2^-2 → a_n = (2⁵)(2^-2)^n-1 = 2^5+(-2n+2)  ∴ a_n = 2^-2n+7
(2) a = 4, r = 2 이므로 a_n = 4×2^n-1 = 2²×2^n-1 = 2^2+(n-1)    ∴ a_n = 2ⁿ⁺¹ ^^

☞ (a^m)ⁿ = a^mn, a^m×aⁿ = a^m+n




2. 다음 물음에 답하시오.
   
   (1) 첫째 항이 5, 공비가 2 인 등비수열에서 320 은 몇째 항인가?
   (2) 제 2항이 -12, 제 5항이 96 이고 각 항이 실수인 등비수열의 일반항을 구하시오.
(답) (1) 제 7항        (2) a_n = 6×(-2)^n-1

(1) 일반항 a_n = 5×2^n-1 → 5×2^n-1 = 320 ⇔ 2^n-1 = 64 ⇔ 2^n-1 = 2⁶    ∴ n = 7
(2) ar = -12, ar⁴ = 96 에서 r³ = -8, r 은 실수이므로 r = -2 이고 a = 6    ∴ a_n = 6×(-2)^n-1 ^^

☞ 몇째 항인지 알려면? → 제 n항이라고 놓고 n 을 구합니다.^^




3. 2 와 162 사이에 세 개의 실수를 넣어서 전체가 등비수열을 이루도록 할 때, 이 세수를 구하시오.
(답) 6, 18, 54 또는 -6, 18,-54

1) 등비수열의 공비를 r (r 은 실수) 이라고 하면 → 2, 2r, 2r², 2r³, 162
2) 2r⁴ = 162 ⇔ r⁴ = 81 ⇔ r = ±3
3) r = 3 일 때 세 수는 6, 18, 54 이고 r = -3 일 때 세 수는 -6, 18, -54 ^^

1) 등비수열을 이루는 세 수 → a, ar, ar²
2) 등차수열을 이루는 세 수 → a-d, a, a+d




4. 수열 {a_n} 이 공비 r (r>0) 인 등비수열 일 때, 수열 {loga_n} 은 공차가 logr 인 등차수열 임을 증명하시오.
(증명)　

1) 수열 {an} 이 공비 r (r>0) 인 등비수열 이므로 모든 자연수 n 에 대하여 a_n+1 = r×a_n
2) loga_n+1 = log(r×a_n) = logr + loga_n ← log_axy = log_ax+log_ay
3) 모든 자연수 n 에 대하여 loga_n+1-loga_n = logr 이 성립하므로 수열 {loga_n} 은 공차가
    logr 인 등차수열 임. ^^

☞ 모든 자연수 n 에 대하여 a_n+1-a_n = d (일정)이면 수열 {a_n} 은 공차 d 인 등차수열.^^

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