조화수열과 조화중항

1. 조화수열 → 수열의 각 항의 역수를 취하면 등차수열이 되는 수열 수열 {an} 이 조화수열 ⇔ 수열 이 등차수열 2. 조화중항 → 세 수 a, x, b 가 조화수열을 이룰 때, x 는 a 와 b 의 조화중항 ☞ a, x, b 가 조화수열 ⇔ 이 등차수열 ⇔ ⇔

Problem 2-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. a, b, c 가 조화수열을 이룰 때 의 값을 구하시오.
(답) 0

1) a, b, c 가 조화수열 → b 는 a, c 의 조화중항 ⇔
2)

☞ a, b, c 가 조화수열 ⇔ 1/a, 1/b, 1.c 가 등차수열 ⇔ 2/b = 1/a+1/c ⇔ b = 2ac/(a+c)




2. 12, a, b, 3 이 조화수열을 이루도록 a, b 를 정하시오.　
(답) a = 6, b = 4

1) 12, a, b, 3 이 조화수열 → 1/12, 1/a, 1/b, 1/3 이 등차수열
2) 1/12, 1/a, 1/b, 1/3 의 공차를 d 라고 하면 → 1/12+3d = 1/3 ⇔ 3d = 3/12 ⇔ d = 1/12
3) 1/a = (1/12)+d = (1/12)+(1/12) = 1/6 → a = 6
4) 1/b = 1/12+2d = (1/12)+(2/12) = 1/4 → b = 4 ^^

☞ a, x, y, z 가 공차 d 인 등차수열을 이루면 → x = a+d, y = a+2d, z = a+3d ^^　




3. 가 조화수열 이면 a, b, c 도 조화수열 임을 밝히시오. (단, a+b+c≠0)
(증명)

1) 이 조화수열 → …㉠
2)  ㉠ 의 양변에 2 를 더하면 → …㉡
3)  ㉡ 의 양변을 a+b+c 로 나누면 → 이므로 a, b, c 는 조화수열 ^^

☞ a, x, b 가 조화수열 ⇔ 이 등차수열 ⇔




4. a_p = q 이고 a_q = p 인 조화수열 {a_n} 의 제 p+q 항을 구하시오. (단, p≠q)
(답) pq/(p+q)

1) 수열 {an} 이 조화수열 → 수열 {1/a_n} 은 등차수열
2) 등차수열 {1/a_n} 의 첫째 항을 a, 공차를 d 라고 하면

i) 1/a_p = a+(p-1)d ⇔ 1/q = a+(p-1)d …㉠
ii) 1/a_q = a+(q-1)d ⇔ 1/p = a+(q-1)d …㉡

3) ㉠-㉡ → (1/q)-(1/p) = (p-q)d ⇔ (p-q)/pq = (p-q)d → d = 1/pq
4) d = 1/pq 를 ㉠ 에 대입 → 1/q = a+(p-1)(1/pq) ⇔ 1/q = a+(1/q)-(1/pq) → a = 1/pq
5) 1/a_p+q = a+{(p+q)-1}d

 → 1/a_p+q = 1/pq +{(p+q)-1}(1/pq) ⇔ 1/a_p+q = (p+q)/pq    ∴ a_p+q = pq/(p+q)

조화수열 {a_n} 에 대하여 등차수열 {1/a_n} 의 첫째 항이 a, 공차가 d 이면 → 1/a_n = a+(n-1)d ^^

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