n 항 까지의 합 S_n 과 일반항 a_n 사이의 관계

Problem 2-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 수열 {a_n} 의 n 항까지의 합 S_n 이 다음과 같을 때, 일반항 a_n 을 구하시오.
   
   (1) S_n = 2n²-n+2        (2) S_n = n²+4n
(답) (1) a₁= 3, a_n = 4n-3 (n≥2)    (2) a_n = 2n+3 (n≥1)

(1) → a_n = S_n-S_n-1 은 n = 2, 3, 4, … 일 때만 성립하므로 a₁ 은 별도로 나타냅니다.^^

1) a₁ = S₁ = 2·1²-1+2 = 3    ∴ a₁ = 3
2) a_n = S_n-S_n-1 (n≥2) 이므로
    a_n = (2n²-n+2)-{2(n-1)²-(n-1)+2} = 2{n²-(n-1)²}-{n-(n-1)} = 2(2n-1)-1 = 4n-3 (n≥2)

∴ a₁ = 3, a_n = 4n-3 (n≥2) ^^

(2) → a_n = S_n-S_n-1 (n≥2) 에서 구한 a_n 이 a₁ = S₁ 을 만족하는 경우입니다. ^^

1) a₁ = S₁ = 1²+4·1 = 5    ∴ a₁ = 5 …㉠
2) a_n = S_n-S_n-1 = (n²+2n)-{(n-1)²+2(n-1)} = {n²-(n-1)²}+2 = 2n+3 (n≥2)
3) a_n = 2n+3 (n≥2) 에  n = 1 을 대입하면 ㉠ 의 a₁ = 5 와 같으므로 → a_n = 2n+3 (n≥1) ^^

　

☞ a_n = S_n-S_n-1 (n≥2) 에서 S₀ = 0 이 성립하면 a_n = S_n-S_n-1 (n≥1) ^^




2. a₁ = 1, S_n+1 = S_n+3n+1 (n = 1, 2, 3, …) 을 만족하는 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.
(답) a_n = 3n-2 (n≥1)

1) S_n+1 = S_n+3n+1 ⇔ a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1 = (a₁+a₂+a₃+…+a_n)+3n+1 ⇔ a_n+1 = 3n+1 (n≥1)
2) a_n+1 = 3n+1 (n≥1) ⇔ a_n = 3(n-1)+1 = 3n-2 (n≥2)    ∴ a_n = 3n-2 (n≥2)
3) a_n = 3n-2 (n≥2) 에 n = 1 을 대입하면 조건의 a₁ = 1 과 같으므로 → a_n = 3n-2 (n≥1) ^^

a_n+1 =3n+1 (n=1, 2, 3, …) → a₂ = 4, a₃ = 7, a₄ = 10, … 이므로
a_n+1 =3n+1 (n=1, 2, 3, …) 은 a₁ 을 구할 수 있는 식이 아닙니다.^^




3. S_n = n²-1+a_n (n = 1, 2, 3, …) 을 만족하는 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.
(답)　a_n = 2n+1 (n≥1)

1) n≥2 일 때, a_n = S_n-S_n-1 이므로
    a_n = S_n-S_n-1 = (n²-1+a_n)-{(n-1)²-1+a_n-1} = 2n-1+a_n-a_n-1 (n≥2) → a_n-1 = 2n-1 (n≥2)
2) a_n-1 = 2n-1 (n≥2) ⇔ a_n = 2(n+1)-1 = 2n+1 (n≥1)    ∴ a_n = 2n+1 (n≥1)

☞ S_n = n²-1+a_n  에서 …

1) n = 1 이면 a₁ = 1²-1+a₁ → a₁ = a₁
2) n = 2 이면 a₁+a₂ = 2²-1+a₂ → a₁ = 3 ^^




4. a₁ = 2, nS_n+1 = (n+1)S_n+n(n+1) 을 만족하는 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 구하시오.
(답) a_n = 2n

1) nS_n+1 = (n+1)S_n+n(n+1) 의 양변을 n(n+1) 로 나누면 → a_n+1 = a_n+d 꼴
2) 수열 은 첫째 항이 2, 공차가 1 인 등차수열 ← S₁/1 = a₁ = 2
3) ⇔ S_n = n(n+1) ← 등차수열의 일반항 a_n = a+(n-1)d
4) a_n = S_n-S_n-1 = n(n+1)-(n-1)n = 2n (n≥2) 이고 a₁ = 2 이므로 a_n = 2n

1) 수열 {a_n} → a₁, a₂, a₃, …, a_n, … 에서 a₁+a₂+a₃+…+a_n = S_n 이므로
2) 수열 {S_n} → S₁, S₂, S₃, …, S_n, …  ⇔ a₁, a₁+a₂, a₁+a₂+a₃, …
3) 수열 {S_n/n} → S₁/1, S₂/2, S₃/3, …, S_n/n, … ⇔ a₁/1, (a₁+a₂)/2, (a₁+a₂+a₃)/3, …

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