등차중항, 등차수열의 합
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1. 등차중항 → a, x, b 가 등차수열을 이룰 때, x 를 a 와 b 의 등차중항이라고 합니다.^^ a, x, b 가 등차수열 → x-a = b-x ⇔ 2x = a+b ⇔
x = ☞ 수열 {an} 이 등차수열이면 2an = an-1+an+1 (n = 2,3,4,…) 2. 등차수열의 n 항까지의 합 Sn → Sn = a+(a+d)+(a+2d)+…+{a+(n-1)d}
☞ 첫째 항 a, 공차 d, 끝 항 l 을 알 때, 항의 개 수 n 은 → l = a+(n-1)d 에서 구합니다.^^ |
→ 등차중항 ≡ 산술평균
Problem 2-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.
- x, 2a, y, 2b, z 가 등차수열을 이룰 때, x, y, z 를 a, b 로 나타내시오.
- 다음 수열의 합을 구하시오.
(1) 2+5+8+ … + 119
(2) 19+15+11+ … + (-65) - 1 과 100 사이의 자연수 중에서 7 로 나눌 때 3 이 남는 자연수의 총합을 구하시오.
- 첫째 항이 31, 공차가 -3 인 등차수열에서 처음부터 제 몇 항까지의 합이 최대가 되는가? 또 그 때의 최대값은 얼마인가?
1) 2a, y, 2b 이 등차수열 → 2y = 2a+2b ⇔ y =a+b 이므로 공차는 b-a
2) x+(b-a) = 2a → x = 3a-b
3) 2b+(b-a) = z → z = 3b-a
1) a, x, b 가 등차수열 ⇔ 2x = a+b →
x 는 a 와 b 의 등차중항
2) 수열 {an} 이 등차수열 → 2an = an-1+an+1 (n = 2, 3, 4,
…)
(1) l = a+(n-1)d 를 써서, 항의 개수를 구하는 것이 중요합니다.
1) 119 가 제 n항 이라고 하면 2+(n-1)×3 = 119 ⇔ 3n-1 =119 →
n = 40
2) a=2, l=119, n=40 이므로 Sn = (n/2)(a+l) 에서 → S40 = (40/2)(2+119)
= 20×121 = 2420 ^^
(2) -65 를 제 n항 이라고 생각합니다.
1) 19+(n-1)×(-4) = -65 ⇔ -4n+23 = -65 ⇔ -4n = -88 →
n = 22
2) a=19, l=-65, n=29 이므로 S29 = (22/2){19+(-65)} = 11×(-46) = -506 ^^
☞ 
을
적용할 때, 항의 개수 n 은 l = a+(n-1)d 에서 구합니다.^^
1) 7 로 나눌 때 3 이 남는 정수 → 7n+3
2) 7n+3 이 1 과 100 사이의 자연수가 되려면 → n = 0, 1, 2, …, 13 ∴ n 은 14개
존재
3) 3+10+17+…+94 = (14/2)(3+94) = 7×97 = 679 ^^
☞ 7 로 나눌 때 3 이 남는 수 → 3, 10, 17, 24, … 는 공차가 7 인 등차수열을 이룹니다.^^
1) 첫째 항이 양수이고 공차가 음수이므로 수열은 +, +,
+, …, -, -, -, …
꼴이 됩니다.
2) 모든 양수 항을 더할 때, 합이 최대가 됩니다.
3) an = 31+(n-1)(-3) = -3n+34≥0 에서 an≥0 가 되려면 n = 1, 2, 3, …, 11 이 되어야 합니다.
4) 합의 최대값 → S11 = (11/2){(2×31)+(11-1)(-3)} = (11/2)(62-30) = 11×16 = 176
1) +, +, +,
…,+, -, -, -, … 꼴의 수열에서 양수 항을 모두 더하면 →
합이 최대
2) -, -, -, …, -,
+, +, +, … 꼴의 수열에서 음수 항을 모두 더하면 → 합이 최소