등차수열의 일반항

Problem 2-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 식으로 정의된 수열 {a_n}의 처음 5 개의 항을 쓰고 일반항 a_n 을 구하시오.

   (1) a₁ = 5, a_n+1 = a_n+3 (n = 1, 2, 3, …)
   (2) a₁ = 8, a_n-a_n-1 = -3 (n = 2, 3, 4, …)

(답) (1) 5, 8, 11, 14, 17 → a_n = 3n+2  (2) 8, 5, 2, -1, -4 → a_n = -3n+11

(1) a_n+1 = a_n+3 → 어떤 항 a_n 에 3 을 더하면 다음 항 a_n+1 이 된다는 뜻입니다.^^
(2) a_n-a_n-1 = -3 → 어떤 항과 그 앞의 항의 차가 -3 이 된다는 뜻입니다.^^ 

1) 수열 5, 8, 11, 14, 17, … ⇔ 수열 {3n+2} → 첫째 항이 5, 공차가 3 인 등차수열
2) 수열 8, 5, 2, -1, -4, … ⇔ 수열 {-3n+11} → 첫째 항이 8, 공차가 -3 인 등차수열



2. 제 10 항이 22, 제 17 항이 43 인 등차수열이 있다. 이 수열의 첫째 항 a 와 공차 d 및 일반항 a_n 을 구하시오.
(답) a = -5, d = 3, a_n = 3n-8

1) 등차수열의 제 10 항 → a+9d = 22 …㉠
2) 등차수열의 제 17 항 → a+16d = 43 …㉡
3) ㉠-㉡ 하면 -7d = -21 ∴ d = 3  ㉠ 에 대입하면 a = -5
4) 등차수열의 일반항은 a_n = a+(n-1)d 이므로 a_n = (-5)+(n-1)×3 = 3n-8 ^^

☞ 첫째 항이 a 이고 공차 d 인 등차수열의 일반항 a_n 구하기

a₁ = a, a₂ = a+d, a₃ = a+₂d, a₄ = a+₃d, … → a_n = a+(n-1)d




3. 첫째 항이 17, 공차가 -2 인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은 몇 째 항인가? 　
(답) 제 10항

1) a_n < 0 을 만족하는 n 을 구합니다. ^^
2) a = 17, d = -2 이므로 a_n = 17+(n-1)(-2) = -2n+19 ← a_n = a+(n-1)d
3) a_n = -2n+19 < 0 에서 -2n < -19 ⇔ n > 19/2  ⇔ n > 9.5  ∴ n = 10, 11, 12, … ^^

☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 일반항 → a_n = a+(n-1)d (n = 1, 2, 3, …)




4. 일반항 a_n 이 a_n = pn+q (p, q 는 상수, n = 1,2, 3, …) 으로 주어진 수열 {a_n} 은 첫째 항이 p+q 이고 공차가 d 인 등차수열 임을 증명하시오.
(증명)　

1) a₁ = p+q 이므로 첫째 항은 p+q …㉠
2) a_n+1-a_n = {p(n+1)+q}-(pn+q) = (pn+p+q)-(pn+q) = p (n =1, 2, 3, …) 이므로
    모든 자연수 n 에 대하여 a_n+1-a_n = p …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 a_n = pn+q 인 수열 {a_n} 은 첫째항이 a, 공차가 p 인 등차수열 임. 증명 끝. ^^

☞ 수열 {a_n} 이 공차 d 인 등차수열 임을 증명하려면?

모든 자연수 n 에 대하여 a_n+1-a_n = d 임을 보이면 됩니다.^^

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