역행렬의 성질과 연산

1. ⑴ AA-1 = A-1A = E   ⑵ (A-1)-1 = A

1) AB = E 이면 반드시 BA = E → B = A-1

2) (kA)-1 = (1/k)A-1

2. ⑴ (AB)-1 = B-1A-1
    ⑵ (An)-1 = (A-1)n

3.  (P-1QP)n = P-1QnP

☞ (P-1QP)2 = (P-1QP)(P-1QP)
                   = P-1Q(PP-1)QP
                   = P-1QEQP = P-1Q2P ← QE = EQ = Q

Problem 1-8 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 역행렬 A-1 가 존재하는 이차 정사각행렬 A 가  A-A-1 = E 를 만족할 때, A3-2A2+4E 를 구하시오.
    2. (답)

    1) A-A-1 = E 의 양변에 A 를 곱하면 A2-E = A ← AA-1 =A-1A = E, AE= EA = A
    2) A2 = A+E → A3 = AA2 = A(A+E) = A2+A = (A+E)+A = 2A+E
    3) A3-2A2+4E = (2A+E)-2(A+E)+4E = 3E ^^

    ☞ A2-A = E ⇔ A(A-E) = E ⇔ (A-E)A = E 이므로 A-E = A-1



  2. A3-A2+A-E = O 가 성립할 때, A 의 역행렬 A-1 를 구하시오.
    3. (답) A2-A+E

    1) A3-A2+A-E = O ⇔ A3-A2+A = E
    2) A3-A2+A = E ⇔ A(A2-A+E) = E ⇔ (A2-A+E)A = E 이므로 A-1 = A2-A+E ^^

    ☞ AB = E 이면 반드시 BA = E 가 성립하고, 이 때 B = A-1



  3. A = 일 때, A3+(A-1)3 을 구하시오.
    4. (답)

    1) Cayley 의 정리에 의해서 A2-4A+E = O
    2) 4A-A2 = E ⇔ A(4E-A) = E ⇔ (4E-A)A = E ⇔ A-1 = 4E-A  ⇔ A+A-1 = 4E
    3) A+A-1 = 4E 의 양변을 세제곱하면 (A+A-1)3 = 64E ← E3 = E
    4) (A+A-1)3 = 64E ⇔ A3+(A-1)3+3AA-1(A+A-1) = 64E
    5) A3+(A-1)3+3E(A+A-1) = 64E ⇔ A3+(A-1)3+3(4E) = 64E    ∴ A3+(A-1)3 = 52E

    1) (A+B)2 = A2+AB+BA+B2 ← AB≠BA
    2) (A+E)2 = A2+2A+E ← AE = EA = A, E2 = E
    3) (A+A-1)2 = A2+2E+(A-1)2 ← AA-1 = A-1A = E

  4. 방정식 x2-x-1 = 0 의 두 근 α, β 에 대하여 A = , B = 라 할 때,  A-1B+AB-1 를 구하면?
    ① ② ③ ④ ⑤
    5. (답) ⑤

    1) A-1 = == β2A ← αβ = -1 에서 1/α2 = β2
    2) B-1 = == α2B ← αβ = -1 에서 1/β2 = α2
    3) A-1B+AB-1 = (β2A )B+A(α2B) = (α2+β2)AB ←  (kA)(lB) = kl(AB) (k, l 은 실수)
    4) α2+β2 = (α+β)2-2αβ = 1+2 = 3 ← α+β = 1, αβ = -1
    5) AB = = =
      ∴ A-1B+AB-1 = 3=

    ☞ A = 이고 ad-bc≠0 일 때, A-1 =

목록으로

　

Update 2001년 02월 10일 수학선생님® 수학교육연구©