A 의 역행렬 A^-1

1. A 의 역행렬 A-1 AX = XA = E 를 만족하는 X 가 존재할 때, X 를 A 의 역행렬이라 하고 X = A-1 로 나타내기로    한다. → AA-1 = A-1A = E (E 는 단위행렬) 2. 역행렬이 존재할 조건 A = 이 ad-bc≠0 를 만족할 때 A-1 가 존재하고 이 때 → A-1 = 의 역행렬이 존재할 조건 → ad-bc≠0 ☞ 위에서, 식 ad-bc 를 역행렬이 존재여부를 판단하는 판별식(Discriminant) D 라고 합니다.

Problem 1-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. A =일 때 A 의 역행렬 A^-1 을 구하시오.
(답) → A^-1 = =

☞ A = 의 역행렬 A^-1 =(단, ad-bc≠0)

2. k 가 0 이 아닌 상수이고 A 의 역행렬 A^-1 가 존재할 때, kA 의 역행렬은 A^-1 임을 증명하시오.
(증명)　

1) (kA)(A^-1) = (k·)(A·A^-1) = E …㉠
2) (A^-1)(kA) = (·k)(A^-1·A) = E …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 (kA)(A^-1) = (A^-1)(kA) = E 이므로 (kA)^-1= A^-1 ^^

☞ AX = XA = E 이면 X 는 A 의 역행열 이고 X = A^-1

3. 2A = 일 때, A 의 역행렬 A^-1 를 구하시오.
(답) → (2A)^-1 = ⇔ (1/2)A^-1 = 이므로 A^-1 =

1) 0 이 아닌 실수 a 에 대하여 a^-1 = 1/a
2) 0 이 아닌  실수 k 에 대하여 (kA)^-1 = (1/k)A^-1

☞ 위에서  1/k, A^-1 은 k, A 의 곱셈에 대한 역원



4. A = 일 때, 모든 실수 a 에 대하여 A-kE 가 역행렬을 갖도록 실수 k 의 범위를 정하시오.
(답)　-3 < k < 3

1) A-kE = -=
2) A-kE 가 역행렬을 가질 조건 D = (a-k)(3a-k)+3≠0 ⇔ D = 3a²-4ka+(k²+3)≠0
3) 모든 실수 a 에 대하여 f(a) = 3a²-4ka+(k²+3)≠0 이 성립할 조건 → f(a) 의 판별식 D < 0
4) D/4 = (-2k)²-3(k²+3) < 0 ⇔ k²-9 < 0 ⇔ (k+3)(k-3) < 0     ∴ -3 < k < 3 ^^ 

1) 의 역행렬이 존재할 조건 → D = ad-bc≠0
2) 모든 실수 x 에 대하여 ax²+bx+c≠0 (a≠0) 이 성립할 조건 → D = b²-ac< 0

☞ ax²+2bx+c (a≠0) 의 판별식 D = 4b²-4ac → D/4 = b²-ac

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