케일리(Cayley)의 정리와 행렬다항식

1. Cayley-Hamilton 의 정리 → 행렬다항식을 계산할 때 이용합니다.^^ A = 일 때, 항상 A2-(a+d)A+(ad-bc)E = O 이 성립 ← E = A = 이 A2+pA+qE =O 를 만족할 때 … 1) A≠kE 이면 p = -(a+d), q = ad-bc 2) A = kE 이면 k2+pk+q = 0 ☞ A≠kE 일 때, 이차 정사각행렬 A 가 만족하는 A2+pA+qE = O 꼴의 식은 오직 한 개만 존재. 2. 행렬 다항식의 계산 ← AE = EA = A 이므로 A, E 만 포함된 식의 계산은 보통의 계산과 같음. 1) A2+A+E = O 의 양변에 A-E 를 곱하면 → A3-E = O ⇔ A3 = E 2) A2-A+E = O 의 양변에 A+E 를 곱하면 → A3+E = O ⇔ A3 = -E

Problem1-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. A²-4A+2E = O 를 만족하는 2×2 행렬 A 는 무수히 많이 존재한다. 이 중에서 행렬 A 의 꼴이 인 것을 구하시오.
(답)　

1) A = 라고 하면 A²-2aA+(a²-ab)E =O ← Cayley 의 정리
2) A≠kE 이므로 A²-2aA+(a²-ab)E =O 과 A²-4A+2E = O 는 동일한 이차식
3) -2a = -4, a²-ab = 2 에서 → a = 2, b = 1 ^^

A = 일 때, A≠kE 이면 A 가 만족하는 A²+pA+qE = O 꼴의 식은 오직 한 개 존재하고, Cayley 의 정리에 의해 얻은 식 A²-(a+d)A+(ad-bc)E = O 과 같다.

　




2. A = 일 때, A⁴-8A³+19A²-11A-E 를 구하시오.
(답)

1) Cayley 의 정리에 의해 → A²-7A+12E = O
2) A⁴-8A³+19A²-11A-E = (A²-7A+12E)(A²-A)+A-E = O·(A2-A)+A-E = A-E
    ∴ A⁴-8A³+19A²-11A-E = -=

☞ A⁴-8A³+19A²-11A-E = A²(A²-7A+12E)-A(A²-7A+12E)+A-E




3. A = 이 A²-aA+(a+2)E = O 를 만족할 때, a 를 구하시오.
(답) a = -2

1) A = = a= aE
2) A = aE 를 A²-aA+(2a+1)E = O 에 대입하면 (aE)²-a(aE)+(2a+1)E = O ← E² = E
3) (a²-a²+a+2)E = O ⇔ (a+2)E = O ⇔     ∴ a = -2 ^^

☞ kA = O 이고 A≠O 이면 k = 0




4. A = 가 A²+A+E = O 을 만족하도록 k 를 정하고 A⁴-A³+3A²-A+E 를 구하시오.
(답) k = -7,

1) Cayley 의 정리에 의해 → A²-A-(6+k)E = O
2) A≠kE 이므로 A²+A-(6+k)E = O 와 A²+A+E = O 은 동일한 식    ∴ k = -7
3) A²+A+E = O 의 양변에 A-E 를 곱하면 (A-E)(A²+A+E) = O ⇔ A³-E = O ⇔ A³ = E
4) A⁴-A³+3A²-A+E = A-E+3A²-A+E = 3A² = 3(-A-E) ← A² = -A-E
5) A⁴-A³+3A²-A+E = -3A-3E = -3-3=

☞ A = kE 가 A²+pA+qE = O 을 만족 → (k²+pk+q)E = O 이므로 k²+pk+q = 0

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