행렬의 곱셈에 대한 성질

1. 단위행렬 E (곱셈에 대한 항등원) → E = = = ← 모든 A 에 대하여 AE = EA = A 가 성립 2. 행렬의 거듭제곱 → A 가 정사각행렬일 때만 An 이 정의됩니다. ☞ 단위행렬 E 의 성질 1) AE = EA = A → E2 = E 2) (A+E)2 = A2+2A+E 1) A2 = A·A, A3 = A2·A, …, An = An-1·A 2) Am·An = An·Am = Am+n 3. 곱셈에 대한 연산법칙 1) (AB)·C = A·(BC) = ABC ← 결합법칙 2) (mA)·(nB) = mn(AB) ← 행렬과 실수의 곱 3) A(B+C) = AB+AC, (B+C)A = BA+CA ← 분배법칙

Problem1-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. A = , B = 일 때, 다음을 계산하시오.
   

   (1) (2A)×(3B)

   (2) A5

   (3) ABAB

(답) (1)     (2)     (3)

(1) (2A)×(3B) = 6AB =6=6=
(2) A⁵ =(A·A)·(A·A)·A = (A²)²·A 이고 A² ==이므로 …
     (A²)² ==    ∴ A⁵ = =
(3) ABAB = (AB)(AB) = =

☞ (A+B)² = (A+B)(A+B) = (A+B)A+(A+B)B = (AA+BA)+(AB+BB) = A²+BA+AB+B²



2. A = , B = 일 때, (A+B)(A-B) 를 구하시오.
(답)


1) A+B = +=, A-B = -=
2) (A+B)(A-B) ==

☞ (A+B)(A-B) = (A+B)A-(A+B)B = (AA+BA)-(AB+BB) = A²+BA-AB+B²

3. A = 일 때, A² = A 가 성립하도록 a, b 를 정하시오. (단, ab>0)
(답) a = 1/2, b = 1/2

1) A² = =
2) A² = A ⇔ = → a²+b² = a …㉠, 2ab = b …㉡
3) ㉡ → 2ab = b ⇔ b(2a-1) = 0 에서 ab>0 이므로 b≠0    ∴ a = 1/2
4) a = 1/2 를 ㉠ 에 대입하면 1/4+b² = 1/2 ⇔ b² = 1/4  이고 ab>0 이므로 b = 1/2 ^^

☞ ab > 0 이면 ab≠0 이므로, a≠0 이고 b≠0 ^^

4. A+B = , AB = , A² = A, B² = B 일 때, BA 를 구하시오.
(답)

1) (A+B)² = A²+AB+BA+B², A² = A, B² = B → (A+B)² = A+AB+BA+B …㉠
2) (A+B)² = =
3) ㉠ → BA = (A+B)²-(A+B)-AB = --=

☞ (A+B)² = A²+2AB+B² 이면 AB = BA ^^ 

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