행렬의 곱셈

1. 행렬의 곱셈 → 여러 개의 행벡터와 열벡터의 곱셈을 한 개의 식으로 나타내는 것.

= …㉠, = …㉡

㉠, ㉡을 한 개의 식으로 나타내면 → =

2. A×B 가 정의될 조건 → (A 의 행의 길이) = (B 의 열의 길이)

☞ (m×l 행렬)×(l×n 행렬) = (m×n 행렬)
☞ A×B ≠ B×A, (AB)C = A(BC) → 곱셈의 교환법칙(×), 결합법칙 (O)

3. 행렬의 거듭제곱 → A×A = A2, A×A×A = A3

Problem1-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. A =, B = 일 때, AB-BA 를 구하시오.
    2. (답)

    1) AB ==
    2) BA ==
    3) AB-BA ==

    ☞ AB≠BA ⇔ AB-BA≠O → 곱셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않음.



  2. 임의의 2×2 행렬 X 에 대하여 AX = XA 가 성립하도록 하는 2×2 행렬 A 의 꼴은?
    ① ② ③ ④ ⑤
    　
    3. (답) ③

    1) X = , A = 라고 놓으면
    2) AX = =
    3) XA = =
    4) 임의의 X 에 대하여 AX = XA  이므로, 아래 네 개의 식은 x,y,z,u 에 대한 항등식
        ax+bz = ax+cy…㉠, ay+bu = bu+dy …㉡
        cx+dz = az+cu …㉢, cy+du = bz+du …㉣
    5) ㉠ → bz = cy 가 모든 y, z 에 대하여 성립하므로 b = c = 0
    6) ㉠ → ay = dy 이 모든 y 에 대하여 성립하므로 a = d
    7) b = c = 0, a = d 이면 ㉢, ㉣ 이 항상 성립    ∴ a = d, b = c= 0 이므로 A = 꼴 ^^

    ☞ 모든 x, y, z 에 대하여 ax+by+cz = 0 이 성립 ⇔ a = b = c = 0

  3. A =일 때, 다음 중 AB = O 을 만족하는 B 가 아닌 것은?
    ① ② ③ ④ ⑤
    4. (답) ⑤ → =

    ☞ =

  4. 다음 중 행렬의 성질로 옳은 것은?
    ① AB = BA ② A2A3 = A3A2 ③ AB = O 이면 BA = O
    ④ A2 = O 이면 A = O ⑤ AB = O 이면 A = O 또는 B = O
    5. (답) ②

    1) ②  → A2A3 = (AA)(AAA) = (AAA)(AA) = A3A2
    2) ④ → 이므로 ④ 는 거짓 ^^

    1) AB≠BA → 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않음
    2) (AB)C = A(BC) → 행렬의 곱셈에서 결합법칙은 성립
    3) AB = O 이면 A = O 또는 B = O (거짓)
    4) A2 = O 이면 A = O (거짓)

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Update 2001년 02월 10일 수학선생님® 수학교육연구©