21. 원의 접선

　


원 x2+y2=r2의 접선

㉠ 원 위의 점 (x1,y1)에서 원에 그은 접선 ⇔ x1x+y1y=r2
㉡ 기울기 m인 접선 ⇔

일반적인 원의 접선을 구할 때는 직선이 원에 접할 조건 D=0 또는 d=r을 써서 구한다. 보통 d=r을 쓰는 것이 계산이 더 간단하다.

Problem 7-21 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 다음 조건을 만족하는 직선의 방정식을 구하시오.

    (1) x2+y2=5위의 점 (1,2)에서 원에 그은 접선
    (2) x2+y2=5밖의 점 (3,1)에서 원에 그은 접선

    2. (답) (1) x+2y=5 (2) 2x-y=5 또는 x+2y=5

    (1) 접선 공식 x1x+y1y=r2 에서 x1=1, y1=2, r2=5이므로 x+2y=5
     
    (2) 접점을 (a,b)라고 놓으면 접선의 방정식은
    ax+by=5 ...㉠, (3,1)이 이 직선 위에 있으므로 대입하면 3a+b=5 ...①, (a,b)는 원 위의 점이므로 대입하면 a2+b2=5 ...②
    ①과 ②를 연립하면 a=2, b=-1과 a=1, b=2
    ㉠에 대입하면 2x-y=5 또는 x+2y=5
  2. x2+y2=9에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식을 구하시오.

    3. (답) y=5x±3

    접선의 방정식을 y=2x+n ...① 이라고 놓으면 원의 중심 (0,0)에서 이 직선 2x-y+n=0 까지의 거리가 3이므로 에서 |n|=3  ∴ n=±3
    ①에 대입하면 y=5x±3



  3. (x-2)2+(y-3)2=42에 접하고 기울기가 -1인 직선의 방정식을 구하시오.

    4. (답) y=-x+(5±4)

    기울기가 -1인 접선의 방정식을 y=-x+n 라고 하면 원의 중심 (2,3)에서 x+y-n=0 까지의 거리가 4이므로 에서 |5-n|=4, n=5±4

    ∴ y=-x+5±4



  4. 두 원 x2+y2=1, x2+(y-2)2=4의 공통접선의 방정식을 y=ax+b라고 할 때 a2+b2의 값을 구하시오.

    5. (답) 7

    d=r 를 써서 a, b 를 구할 수도 있으나 다음 그림을 이용한다.
    그림에서 b=-2이고 a=± 이므로 a2+b2=7

　

Update : 2000년 01월 26일  수학선생님®  수학교육연구©