두 원의 교점을 지나는 원

19. 두 원의 교점을 지나는 원

(1) 두 원의 교점을 지나는 원

㉠ m(x²+y²+ax+by+c)+n(x²+y²+a‘x+b‘y+c‘)=0 (m+n≠0)
㉡ x²+y²+ax+by+c+k(x²+y²+a‘x+b‘y+c‘)=0 (k≠-1)
㉢ k(x²+y²+ax+by+c)+x²+y²+a‘x+b‘y+c‘=0 (k≠-1)

(2) 두 원의 교점을 지나는 직선 ⇔ 두 원의 공통현

(x²+y²+ax+by+c)-(x²+y²+a‘x+b‘y+c‘)=0

Problem 7-19 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

두 원 x²+y²=1과 x²+y²-2x-2y+1=0의 교점을 지나고 원점을 지나는 원의 방정식을 구하시오.

(답) x²+y²-x-y=0　

x²+y²-1+k(x²+y²-2x-2y+1)=0 ^...㉠라고 놓고
(0,0)을 대입하면 -1+k=0, k=1
㉠에 대입하고 정리하면 2(x²+y²-x-y)=0

∴ x²+y²-x-y=0

서로 다른 두 점에서 만나는 두 원 x²+y²=1과 x²+y²-ax-y-1=0이 있다. 이 두 원의 교점을 지나는 직선이 (2,-4)를 지나도록 상수 a를 정하시오.

(답) 2　

(x²+y²-1)-(x²+y²-ax-y-1)=0에서
두 원의 교점을 지나는 직선은 ax+y=0
(2,-4)를 대입하면 2a-4=0 ∴ a=2

원 x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0은 상수 a에 관계없이 항상 일정한 두 점을 지난다. 이 두 점의 좌표를 구하시오.

(답) (3,4), (5,0)　

x²+y²-25-a(4x+2y-20)=0은
x²+y²-25=0 ^...㉠과 4x+2y-20=0 ^...㉡의 교점을 지나는 원
㉡에서 y=-2x+10
㉠에 대입하고 정리하면
5(x²-8x+15)=0에서 x=3, 5
㉡에 대입하면 (3,4), (5,0)

서로 만나지 않는 두 원 x²+y²-8x-4y+16=0 ^...①과 x²+y²+4x+2y+4=0 ^...②이 있다. ①에서 ②를 변끼리 빼면 직선 2x+y-2=0을 얻는다. 이 직선은 두 원의 중심을 잇는 선분에 수직임을 증명하시오.

(증명)　

(x-4)²+(y-2)²=4 ^...①의 중심은 O(4,2)
(x+2)²+(y+1)²=1 ^...②의 중심은 O‘(-2,-1)

선분 OO‘의 기울기는 이고 직선의 기울기는 -2이므로
직선은 선분에 수직임 증명 끝.