18. 아폴로니우스의 원

　


Appolonius의 원 ⇔ {P| AP:BP=m:n, m≠n}
  • 선분 AB를 m:n으로 내분, 외분하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원
  • m=n인 경우는 점 P의 집합은 AB의 수직이등분선이 된다.
Appolonius의 원의 방정식을 구하려면?

P를 P(x,y)로 놓고 AP:BP=m:n ⇔ n.AP=m.BP 를 이용하여 x2+y2+ax+by+c=0을 유도한다.

Problem 7-18 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. O(0,0), A(3,0)일 때 OP:AP=2:1을 만족하는 점 P의 집합을 나타내는 도형의 방정식을 구하시오. 

    2. (답) x2+y2-8x+12=0　


    OP:AP=2:1에서 2AP=OP, 4AP2=OP2
    P(x,y)라고 놓으면
    AP2=(x-3)2+y2, OP=x2+y2이므로
    4{(x-3)2+y2}=x2+y2에서 x2+y2-8x+12=0



  2. A(-3,0), B(0,3)일 때 AP:BP=2:1을 만족하는 점 P 중에서 △PAB의 넓이를 최대로 하는 점 P의 좌표를 구하시오.

    3. (답) (-1,6) 또는 (3,2)

    2BP=AP, 4BP2=AP2에서
    점 P의 자취의 방정식은 (x-1)2+(y-4)2=8 ...①

    △PAB의 밑변을 AB로 보면 밑변의 길이는 일정하므로 높이가 최대가 될 때 삼각형의 넓이는 최대가 된다. 그림에서 원의 중심을 지나고 AB에 수직인 직선의 방정식이 y=-x+5 이므로
    ①에 대입하고 x, y를 구하면 P(-1,6) 또는 P(3,2)



  3. 두 점 A(-2,1), B(1,1)에 대하여 AP:BP=m:1을 만족하는 점 P의 자취는 원이다. 이 원이 y축에 접하도록 m을 정하시오. (단, m>0)

    4. (답) 2

    m.BP=AP, m2.BP2=AP2에서 m2{(x-1)2+(y-1)2}=(x+2)2+(y-1)2
    이 원이 x축에 접하면 x=0과 연립하여 나온 y의 이차방정식이 중근을 갖는다.
    m2{1+(y-1)2}=4+(y-1)2, (m2-1)(y-1)2=4-m2에서
    이중근을 가질 조건은 4-m2=0 ∴  m=2   　



  4. 점 A(10,0)과 원 x2+y2+4x-6y+4=0 위의 점 P를 잇는 선분 AP를 1:2로 내분하는 점 Q의 자취의 방정식을 구하시오.

    5. (답) x2+y2-12x-2y+36=0　

    P(a,b)라고 놓으면 AP를 1:2로 내분하는 점 Q의 좌표는 Q(,)
    =x, =y 로 놓으면 a=3x-20, b=3y ...㉠
    P(a,b)는 원 x2+y2+4x-6y+4=0 위의 점이므로 대입하면
    a2+b2+4a-6b+4=0 ...㉡
    ㉠을 ㉡에 대입하면
    (3x-20)2+(3y)2+4(3x-20)-6(3y)+4=0
    이 식을 정리하면 x2+y2-12x-2y+36=0

　

Update : 2000년 01월 25일  수학선생님®  수학교육연구©