17. 원의 방정식

　


(1) 원의 정의 : {P| CP=r } ← C는 원의 중심, r 은 반지름
(2) 원의 방정식

㉠ (x-a)2+(y-b)2=r2 ← 중심이 (a,b), 반지름이 r 인 원
㉡ x2+y2+ax+by+c=0 (a2+b2-4c>0) ← 원의 일반형
㉢ x=rcosθ+a, y=bsinθ+b ← 매개변수 형

x2+y2+ax+by+c=0이 원의 방정식이 될 조건  ⇔ a2+b2-4c>0

Problem 7-17 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1.  다음 조건을 만족하는 원의 방정식을 구하시오.

    (1) 중심이 (-2,3)이고 점 (1,6)을 지나는 원
    (2) (5,1), (-1,-3)을 지름의 양끝으로 하는 원

    2. (답) (1) (x+2)2+(y-3)2=18  (2) (x-2)2+(y+1)2=13

    (1) 중심이 (-2,3)이므로 반지름을 r이라고 하면
         (x+2)2+(y-3)2=r2, 점 (1,6)을 지나므로 대입하면
         (1+2)2+(6-3)2=r2에서 r2=18

           ∴ (x+2)2+(y-3)2=18

    (2) 원의 중심은 선분 AB의 중점 (2,-1)
         선분 AB가 지름이므로 AB2=62+42=52에서 AB=2이므로
         반지름은

         ∴  (x-2)2+(y+1)2=13



  2. A(4,1), B(6,-3), C(-3,0)일 때 세 점 A, B, C를 지나는 원의 방정식을 구하시오.

    3. (답) x2+y2-2x+6y-15=0　

    원의 방정식을 x2+y2+ax+by+c=0이라고 놓고
    A(4,1), B(6,-3), C(-3,0)을 각각 대입하면

    4a+b+c+17=0, 6a-3b+c+45=0, 9-3a+c=0
    이 식을 연립하면 a=-2, b=6, c=-15

    ∴ x2+y2-2x+6y-15=0



  3. x2+y2+x+2y+k=0이 원의 방정식이 될 k의 조건을 구하시오.

    4. (답) k<　

    x2+y2+x+2y+k=0, (x+)2+(y+1)2=-k+
    이 식이 원이 되려면 -k+>0  ∴ k<



  4. 중심이 y=x+1위에 있고 점 (3,2)를 지나는 원이 x축에 접한다. 이 원의 방정식을 구하시오.

    5. (답) (x-1)2+(y-2)2=4 또는 (x-9)2+(y-10)2=100　

    중심이 y=x+1위에 존재하므로 중심을 (a-1,a)이라고 놓는다.
    이 원이 x축에 접하므로 반지름은 |a|가 된다.

    이 때, 원의 방정식은 {x-(a-1)}2+(y-a)2=a2이고
    (3,2)를 대입하면 (4-a)2+(2-a)2=a2, a2-12a+20=0    에서
    a=2 또는 10

    ∴ (x-1)2+(y-2)2=4 또는 (x-9)2+(y-10)2=100


　

Update : 2000년 01월 24일  수학선생님®  수학교육연구©