16. 자취와 자취의 방정식

　


자취의 방정식을 구하는 방법

(1) 점 P의 좌표를 P(x,y)로 놓는다.
(2) 제시된 조건을 이용하여 자취의 방정식 f(x,y)=0을 유도한다.
(3) 자취의 한계가 있는 경우는 x, y의 범위를 밝힌다.

점 P(x,y)의 자취 ⇔  P(x,y)의 집합 ⇔ {(x,y)| f(x,y)=0}

Problem 7-16 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 1사분면 위의 점으로 x축에 이르는 거리와 y축에 이르는 거리의 비가 2:1인 점 P의 자취의 방정식을 구하시오. 

    2. (답) y=2x (x>0)

    P의 좌표를 (x,y)로 놓으면

    P에서 x축에 이르는 거리=|y|
    P에서 y축에 이르는 거리=|x|

    |y|:|x|=2:1에서 |y|=2|x|
    점 P는 1사분면 위의 점이므로 x>0, y>0

    ∴ y=2x (x>0) 　



  2. O(0,0), A(0,4), B(2,0)와 좌표 평면 위를 움직이는 점 P가 있다.  △OAP의 넓이와 △OBP의 넓이가 같을 때 점 P의 자취의 방정식을 구하시오.

    3. (답) y=±2x　

    △OAP의 넓이=.4|x|
    △OBP의 넓이=.2|y|
    .4|x|=.2|y|에서 |y|=2|x|

    ∴ y=±2x



  3. 제 1사분면 위의 점으로 x=1에 이르는 거리와 y=0에 이르는 거리의 합이 2인 점 P의 자취의 방정식을 구하시오.

    4. (답) y=-|x-1|+2 (x>0, y>0)

    P(x,y)라고 놓으면
    점 P에서 x=1에 이르는 거리는 |x-1|
    점 P에서 y=0    에 이르는 거리는 |y|=y (∵ y>0)

    |x-1|+y=2에서 y=-|x-1|+2 (x>0, y>0)



  4. 직선 x+y=0과 x-y=0에 이르는 거리의 합이 인 점 P의 자취의 방정식과 자취의 길이를 구하시오.

    5. (답) |x+y|+|x-y|=2, 자취의 길이는 8

    P(x,y)에서 x+y=0에 이르는 거리=
    P(x,y)에서 x-y=0에 이르는 거리=

    ∴ +=에서 |x+y|+|x-y|=2

    i) y≥x, y≥-x일 때, (x+y)-(x-y)=2, y=1
    ii) y≥x, y<-x일 때, -(x+y)-(x-y)=2, x=-1
    iii) y<x, y≥-x일 때, (x+y)+(x-y)=2, x=1
    iv) y<x, y<-x일 때, -(x+y)+(x-y)=2, y=-1　



　

Update : 2000년 01월 24일  수학선생님®  수학교육연구©