9. 일정한 점을 지나는 직선

　


(1) 일정한 점 (a,b)를 지나는 직선 : m(x-a)+n(x-b)=0

(2) ax+by+c=0과 a‘x+b‘y+c‘=0의 교점을 지나는 직선

① m(ax+by+c)+n(a‘x+b‘y+c‘)=0
② ax+by+c+k(a‘x+b‘y+c‘)=0 ← m=1, n=k
③ k(ax+by+c)+a‘x+b‘y+c‘=0 ← m=k, n=1
　
f(x,y)=0과 g(x,y)=0의 교점을 지나는 도형의 방정식

m·f(x,y)+n·g(x,y)=0

Problem 7-9 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 다음 직선이 지나는 일정한 점의 좌표를 구하시오. (m, n은 상수)

    (1) m(x-1)+n(y+2)=0
    (2) m(x+y-1)+n(x-y-3)=0

    2. (답) (1) (1,-2)   (2) (2,-1)

    (1) x-1=0, y+2=0에서 x=1, y=-2  ∴ (1,-2)
    (2) x+y-1=0, x-y-3=0을 연립하면 x=2, y=-1 ∴ (2,-1)



  2. x+y-1=0과 x-y-3=0의 교점과 원점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.

    3. (답) x+2y=0

    m(x+y-1)+n(x-y-3)=0에 (0,0)을 대입하면
    -m-3n=0, m=-3n
    -3n(x+y-1)+n(x-y-3)=0    에서 양변을 n으로 나누면
    -3(x+y-1)+(x-y-3)=0, -2x-4y=0

    ∴ x+2y=0



  3. 를 만족하는 모든 a, b에 대하여 직선 은 항상 일정한 점을 지난다. 이 점의 좌표를 구하시오.

    4. (답) (,)　

    , 에서 =A, =B로 놓으면
    A+B=2, Ax+2By=1에서 B를 소거하면
    Ax+2(2-A)y=1, (x-2y)A+4y-1=0

    x-2y=0, 4y-1=0에서 y=, x=   ∴ (, )



  4. a가 모든 실수 값을 취하며 변할 때 직선 2ax+y+a2=0이 존재하는 영역을 좌표평면 위에 도시하시오.

    5. (풀이)

    2ax+y+a2=0을 a에 대한 이차방정식으로 보고 정리하면
    a2+2xa+y=0
    a가 실수가 되려면 D/4=x2-y≥0, y≤x2

    따라서 실수 a에 의해 결정되는 직선 위의 모든 점 (x,y)는  포물선 y=x2의 경계선을 포함한 아래부분에 존재 　



　

Update : 2000년 01월 22일  수학선생님®  수학교육연구©