Problem 7-8 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 두 직선 ax+by+1=0, 2x-(a-3b)+2b=0에 대하여 다음 물음에 답하시오.
   
   (1) 두 직선이 모두 2x+y-1=0에 평행할 때 a, b를 구하시오.
   (2) 두 직선이 일치할 때 a, b를 구하시오.  

(답) (1) a=2, b=1   (2) a=1, b=1 또는 a=-2, b=- 　

(1) 을 정리하면
     a=2b, -a+3b=1  ∴ a=2, b=1

(2) 을 정리하면
     -a2+3ab=2b, ab=1에서 b=를 대입하여 b를 소거하면
    a3-3a+2=0, (a-1)2(a+2)=0, a=1또는 a=-2

    ∴ a=1, b=1 또는 a=-2, b=-   




2. 두 직선 ax+by+c=0과 bx+cy+a=0 (abc≠0)이 일치할 때 x³+y³-3xy의 값을 구하시오.

(답) -1　

에서 =k 라고 놓으면
a=bk ^...①, b=ck ^...②, c=ak ^...③
①, ②, ③을 변끼리 곱하면 k³=1
k는 실수이므로 k=1

∴ a=b=c, ax+by+c=0에 대입하면
a(x+y+1)=0, x+y+1=0 ∴x+y=-1

x³+y³-3xy=(x+y)³-3xy(x+y)-3xy=(-1)³-3xy(-1)-3xy=-1




3. y=mx와 y=m‘x가 서로 수직으로 만나면 m^.m‘=-1임을 증명하시오.

(증명)　

△OAB는 직각삼각형 이므로 OA²+OB²=AB²이고
OA²=1²+m², OB²=1²+m‘², AB²=|m-m‘|²이므로

(1²+m²)+(1²+m‘²)=|m-m‘|²
2+m²+m‘²=m²-2mm‘+m‘², 2=-2mm‘

∴ mm‘=-1





4. ax+by+1=0과 bx+cy+1=0이 점 (1,1)에서 수직으로 만날 때 두 직선의 방정식을 구하시오.

(답) x=1, y=1 　

(1,1)을 ax+by+1=0, bx+cy+1=0에 대입하면 a+b+1=0 ^...①, b+c+1=0 ^...②
ax+by+1=0과 bx+cy+1=0이 직교하므로
ab+bc=0에서 b(a+c)=0

i) b=0일 때, ①, ②에서 a=-1, c=-1
  이 때 두 직선은 -x+1=0, -y+1=0  ∴ x=1, y=1

ii) a+c=0일 때, c=-a를 ②에 대입하면 b-a=-1
   a+b=-1과 연립하면 b=-1, a=0이고 c=0
   이 때 두 직선은 y=1, x=1

i), ii)에서 두 직선의 방정식은 x=1, y=1  

Update : 2000년 01월 22일  수학선생님^®  수학교육연구^©