(1) 중선정리 AB2+AC2=2(AM2+BM2) (2) 중선정리의 뜻 삼각형의 세 변의 길이를 알면 중선의 길이를 모두 구할 수 있다.

Problem 7-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. △ABC의 변 BC의 중점을 M이라 할 때 AB²+AC²=2(AM²+BM²)이 성립함을 증명하시오. 

(증명)　

BC를 포함하는 직선을 x축, BC의 수직이등분선을 y축으로 잡고 B(-a,0), A(b,c)라고 놓으면 C(a,0), M(0,0)이 된다.

AB²=(a+b)²+c², AC²=(a-b)+c²에서
AB²+AC²=2(a²+b²+c²) ^...①
AM²=b²+c², BM²=a²에서
AM²+BM²=a²+b²+c^{2 ...}②

①, ②에서 AB²+AC²=2(AM²+BM²) 증명 끝.




2. AB=9, BC=7, CA=8인 △ABC의 변 CA의 중점을 M이라 할 때 중선 BM의 길이를 구하시오.

(답) 7　

중선정리 BA²+BC²=2(BM²+AM²)에서
9²+7²=2(x²+4²) 이므로  ← 그림참조
x²=49  ∴ x=7




3. △ABC의 변 BC를 1:2로 내분하는 점을 D라고 하면 2AB²+AC²=3(AD²+2BD²)이 성립함을 좌표를 써서 증명하시오.

(증명)

BC를 포함한 직선을 x축,
D를 지나 BC에 수직인 직선을 y축으로 하고
B(-a,0), A(b,c), C(2a,0), D(0,0)로 놓으면

AB²=(a+b)²+c², AC²=(2a-b)²+c²에서
2AB²+AC²=2(a+b)²+2c²+(2a-b)²+c²=6a²+3b²+3c^{2 ...}①

AD²=b²+c², BD²=a²에서
3(AD²+2BD²)=3{(b²+c²)+2a²}=6a²+3b²+3c^{2 ...}②

①, ②에서 2AB²+AC²=3(AD²+2BD²) 증명 끝. 　




4. AB=CA=5, BC=6인 △ABC의 변 BC를 2:1로 내분하는 점을 D라 할 때 선분 AD의 길이를 구하시오.

(답) 　

그림의 삼각형 ABD에 중선정리를 적용하면
5²+x²=2(x²+2²)에서 x²=17

∴ x=

Update : 2000년 01월 21일  수학선생님^®  수학교육연구^©