(1) 삼각형의 무게중심 G ← 중선을 2:1로 내분하는 점 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)일 때 △ABC의 무게중심 G (2) 삼각형의 외심 O ← 세 꼭지점에서 같은 거리에 있는 점 점 O가 △ABC의 외심이면 OA=OB=OC △ABC의 무게중심 G의 성질 G는 중선을 2:1로 내분 △GAB=△GBC=△GCA=△ABC

Problem 7-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1.  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)을 꼭지점으로 하는 △ABC에 대하여 다음 물음에 답하시오.
   
   (1) 선분 BC의 중점 M의 좌표를 구하시오.
   (2) 중선 AM을 2:1로 내분 하는 점 G의 좌표를 구하시오.

(답) (1) M  (2) G
　
(1) B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)의 중점 M의 좌표는
(2) A(x₁,y₁), M 일 때 AM을 2:1로 내분을 2:1로 내분하는 점 G의 좌표는 G 에서  G




2. A(6,1), B(2,2), C를 꼭지점으로 하는 △ABC의 무게중심이 G(1,4)일 때 점 C의 좌표를 구하시오.

(답) C(-2,3)　

C(x,y)라고 하면 G이고
G(1,4)이므로 에서 x=-2, y=3
∴ C(-2,3)




3. A(6,1), B(-1,2), C(2,3)을 꼭지점으로 하는 △ABC의 외심 O의 좌표를 구하시오.

(답) O(2,-2)　

외심을 O(x,y)라고 놓으면 OA=OB=OC에서 OA²=OB²=OC²
OA²=(x-6)²+(y-1)², OB²=(x+1)²+(y-2)², OC²=(x-2)²+(y-3)²이므로

OA²=OB²에서 x²+y²-12x-2y+37=x²+y²+2x-4y+5 ^...①
OB²=OC²에서 x²+y²+2x-4y+5=x²+y²-4x-6y+13 ^...②

①, ②에서 7x-y=16, 3x+y=4을 연립하면 x=2, y=-2

∴ O(2,-2)




4. 세 점 O(0,0), A(4,4), B가 있다. OB=AB인 이등변삼각형 ABC의 외심이 x축 위에 있을 때 점 B의 좌표를 구하시오.

(답) B(4+2, -2) 또는 B(4-2, 2)　

B(a,b)라고 놓으면
OB²=AB²에서 a²+b²=(a-4)²+(b-4)²에서 a+b=4 ^...①

외심을 C(x,0)라고 놓으면 ← 외심이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0
OC²=AC² 에서 x²=(x-4)²+4², -8x+32=0, x=4
OC²=BC² 에서 x²=(x-a)²+b², 4²=(4-a)²+b^{2 ...}②

①, ②에서 b를 소거하면
2(a-4)2=16, a-4=±2, a=4±2
a=4+2일 때 b=2
a=4-2일 때, b=-2

∴ B(4+2, 2) 또는 B(4-2, 2)

Update : 2000년 01월 21일  수학선생님^®  수학교육연구^©