합 또는 곱이 일정할 때의 최대, 최소 → a+b≥2 (a>0, b>0) 합이 일정 : a+b=k (k는 상수)일 때 ab≤k2  → ab의 최대값은 k2 곱이 일정 : ab=k2 (k는 상수)일 때 a+b≥2|k|→ a+b의 최소값은 2|k|

Problem 6-9 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 물음에 답하시오.
   
   (1) a+b=8 (a>0, b>0)일 때 ab의 최대값과 그 때의 a, b를 구하시오.
   (2) ab=4 (a>0, b>0)일 때 a+b의 최소값과 그 때의 a, b를 구하시오.   

(답) (1) 최대값은16, a=b=4
      (2) 최소값은 4, a=b=2

(1) a+b≥2, a+b=8에서 ≤4, ab≤16 ← ab의 최대값
    등호는 a=b일 때 성립하므로 a+b=8에서 a=4, b=4


(2) a+b≥2, ab=4에서 a+b≥4 ← ab의 최소값
    등호는 a=b일 때 성립하므로 ab=4에서 a=b=2




2. a, b가 양수일 때 a+b+의 최소값을 구하고 그 때의 a, b를 구하시오.

(답) 최소값은 2, a=b=

a+b+≥2+ ^...①  ← a+b≥2
2+≥2     ← a+b≥2
①, ②에서 a+b+≥2이므로 최소값은 2

①에서 등호는 a=b일 때 성립하고
②에서 등호는 2==일 때 성립하므로
a=b, ab=에서 a=b=




3. ab≥a+b+1 (a>0,b>0)일 때 a+b의 최소값을 구하시오.

(답)　최소값은 2+2, a=b=1+

a+b≥2에서 =t라고 놓으면 a+b≥2t ^...①
또 ab≥a+b+1≥2+1에서
t²≥2t+1, t²-2t-1≥0, t≥1+ ^...② (∵ t>0)

①, ②에서 a+b≥2+2  ← 최소값
a=b일 때 등호가 성립하므로 a=b=1+
 




4. ∠ABC=90°, =3, =4인 직각삼각형 ABC의 내부의 한 점 P에서 에 내린 수선의 발을 H라고 할 때 의 최소값을 구하시오.
   
   
(답)


그림에서 =(x²+y²)+z²이고
△ABC=△ABP+△BCP+△CAP이므로
△ABC=^.3x+^.4y+^.5z=6, 3x+4y+5z=12
(3²+4²+5²)(x²+y²+z²)≥(3x+4y+5z)²
50(x²+y²+z²)≥144

∴ x²+y²+z²≥

Update : 2000년 01월 20일  수학선생님^®  수학교육연구^©