8. 부등식의 증명

　


부등식을 증명할 때에는 다음의 동치관계를 이용한다.

(1) A-B≥0 ⇔ A≥B
(2) A≥0, B≥0일 때 A2-B2≥0 ⇔ A≥B
(3) A, B가 실수일 때 A3-B3≥0 ⇔ A≥B

A≥B를 증명할 때 흔히 A-B=(실수)2≥0을 이용!

Problem 6-8 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. a, b가 실수일 때 |a|+|b|≥|a|~|b|임을 증명하시오. 

    2. (증명)

    (|a|+|b|)2=a2+2|ab|+b2   ← |A||B|=|AB|
    (|a|~|b|)2=a2-2|ab|+b2  ← (A-B)2=(B-A)2=A2-2AB+B2

    (|a|+|b|)2-(|a|~|b|)2
    =(a2+2|ab|+b2)-(a2-2|ab|+b2)=4|ab|≥0

    ∴ (|a|+|b|)2≥(|a|~|b|)2     이므로
       |a|+|b|≥|a|~|b| 증명 끝.



  2. 모든 실수 a, b, c에 대하여 a2+b2+c2≥ab+bc+ca임을 증명하시오.

    3. (증명)

    (a2+b2+c2)-(ab+bc+ca)=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
    ={(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+c2)}
    ={(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}≥0 ← (실수)2≥0

    ∴ a2+b2+c2≥ab+bc+ca     (등호는 a=b=c일 때 성립) 증명 끝.



  3. 실수 x, y에 대하여 x5+y5≥x3y2+x2y3임을 증명하시오.

    4. (증명)

    (x5+y5)-(x3y2+x2y3)=(x5-x3y2)+(y5-x2y3)
    =x3(x2-y2)-y3(x2-y2)
    =(x2-y2)(x3-y3)
    =(x-y)2(x2+xy+y2)≥0 ← x2+xy+y2=(x+y)2+y2≥0

    ∴ x5+y5≥x3y2+x2y3     (등호는 x=y일 때 성립) 증명 끝.　



  4. x는 실수일 때 x4+x3+x2+x+1>0임을 증명하시오.

    5. (증명)

    x4+x3+x2+x+1=(x4+x3)+(x+1)+x2
    =x3(x+1)+(x+1)+x2=(x+1)(x3+1)+x2
    =(x+1)2(x2-x+1)+x2>0 ← (x+1)2≥0, x2-x+1=(x-)2+>0, x2≥0

    ∴  x4+x3+x2+x+1>0    임 증명 끝.

　

Update 2000년 05월 22일 수학선생님® 수학교육연구©