7. 코시의 부등식

　


문자가 모두 실수일 때

(1) (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2 (a:b=x:y일 때 등호성립)
(2) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2 (a:b:c=x:y:z일 때 등호성립)

Cauchy의 부등식은 이차식의
최대, 최소값을 구할 때 쓴다.

Problem 6-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2이 성립함을 증명하시오. (a,b,x,y는 실수)

    2. (증명)

    (a2+b2)(x2+y2)-(ax+by)2
    =(a2x2+a2y2+b2x2+b2y=)-(a2x2+2abxy+b2y2)
    =a2y2-2abxy+b2x2=(ay-bx)2≥0 (    등호는 ay=bx a:b=x:y일 때 성립)

    ∴ (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2 증명 끝.



  2. a2+b2=1, x2+y2=2일 때 다음 식의 값의 범위를 구하시오. (a,b,x,y는 실수)

    (1) ax+by     (2) ab+xy

    3. (답) (1)  -≤ax+by≤   (2) -≤ab+xy≤

    (1) (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2에서 1.2≥(ax+by)2
         (ax+by)2≤2에서 |ax+by|2≤  ∴ -≤ax+by≤


    (2) a2+b2≥2|ab|, x2+y2≥2|xy|  ← a2±2ab+b2=(a±b)2≥0 ⇔  a2+b2≥2|ab|
          2|ab|≤1, 2|xy|≤2에서
        -≤ab≤, -1≤xy≤1  ∴ -≤ab+xy≤


  3. x2+y2+z2=3일 때 |x-y+z|의 최대값을 구하고 그 때의 x, y, z를 구하시오.

    4. (답) 최대값 3, x=1, y=-1, z=1 또는 x=-1, y=1, z=-1

    (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2은 모든 실수 a,b,c에 대하여 성립하므로
    a=1, b=-1, c=1일 때에도 성립한다.

    {12+(-1)2+12}(x2+y2+z2)≥{1.x+(-1).y+1.z}2에서 x2+y2+z2=3이므로
    (x-y+z)2≤9, |x-y+z|≤3

    등호는 x:y:z=1:(-1):1    일 때 성립하므로 x2+y2+z2=3에서
     x=1, y=-1, z=1또는 x=-1, y=1, z=-1



  4. x+y+z=a일 때 x2+y2+z2와 a2의 대소를 판정하시오.

    5. (풀이)

    (12+12+12)(x2+y2+z2)≥(1.x+1.y+1.z)2에서 3(x2+y2+z2)≥a2
    ∴ x2+y2+z2≥a2 (등호는 x=y=z=a    일 때 성립)

　

Update : 2000년 01월 19일  수학선생님®  수학교육연구©