4. 이차부등식 (2)

　


(1) ㉠ ax2+bx+c<0의 해가 α<x<β 이면 f(α)=0이고 f(β)=0
     ㉡ ax2+bx+c>0의 해가 x<α, x<β 이면 f(α)=0이고 f(β)=0

(2) 이차식의 판별식이 D<0이면 이차식의 부호는 일정

Problem 6-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. ax2+bx+c>0의 해가 -2<x<3일 때 cx2+ax-b<0의 해를 구하시오.

    2. (답) -<x<1


    f(-2)=4a-2b+c=0 ...①, f(3)=9a+3b+c=0 ...②에서
    ①-②하여 c를 소거하면 -5a-5b=0, b=-a
    ①에 대입하면 2a+c=0, c=-2a
    cx2+ax-b<0    에 대입하면
    -2ax2+ax+a<0, -a(2x2-x-1)<0이고 a<0이므로
    2x2-x-1<0, (2x+1)(x-1)<0, -<x<1   　



  2. 연립부등식 x2+ax+b≥0, x2+cx+d≤0의 해집합이 {x| 1≤x≤2, x=3}이 되도록 a,b,c,d의 값을 정하시오.

    3. (답) a=-5, b=6, c=-4, d=3


    x2+ax+b≥0 ...①의 해집합은 α≤x, x≥β 꼴
    x2+cx+d≤0 ...②의 해집합은 γ≤x≤δ꼴

    그림에서 α=2, β=3, γ=1, δ=3이므로
    ①에서 (x-2)(x-3)≥0, x2-5x+6≥0 ∴ a=-5, b=6
    ②에서 (x-1)(x-3)≤0, x2-4x+3≤0 ∴ c=-4, d=3




  3. 모든 실수 x에 대하여 ax2-2x+a>0이 성립하도록 a의 범위를 정하시오.

    4. (답) a>1

    a=0이면 -2x>0이 되어 x<0일 때만 부등식이 성립
    ∴ a≠0이고 이 때 부등식은 이차부등식이 된다.

    이차함수 f(x)=ax2+bx+c의 그래프에서
    항상 f(x)>0이 될 조건은 a>0, D<0이므로

    a>0, D/4=(-1)2-a2<0, a2>1에서 a>1



  4. ax2+x+a<0을 만족하는 실수 x가 존재하도록 a의 범위를 정하시오.

    5. (답) a<

    i) a=0일 때, 부등식은 x<0이 되므로 ax2+x+a<0을 만족하는 음수 x가 존재한다.
    ii) a<0일 때, f(x)=ax2+x+a의 그래프는 아래로 오목한 그래프이므로
       f(x)<0되게 하는 x가 반드시 존재한다. (그림참조)
    iii) a>0일 때, f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만날 때만
        f(x)<0인 x가 존재하므로 D>0이 되어야 한다.
       D=1-4a2>0, a2<에서 0<a<
    i), ii), iii)에서 a<

    ☞ 연구 : f(x)=ax2+bx+c의 그래프

        

　

Update : 2000년 01월 18일  수학선생님®  수학교육연구©