이차부등식의 해 ⑴ (x-α)(x-β)>0 ⇔ x<α, x>β (α<β) ⑵ (x-α)(x-β)<0 ⇔ α<x<β (α<β) ⑶ (x-α)2>0 ⇔ x≠α인 모든 실수 ⑷ (x-α)2<0 ⇔ x는 존재하지 않는다. x2<a2 ⇔ |x|<|a| x2>a2 ⇔ |x|>|a| (x-α)(x-β)의 부호 ① x<α 이면 (x-α)(x-β)>0 ② α<x<β 이면 (x-α)(x-β)<0 ③ x>β 이면 (x-α)(x-β)>0

Problem 6-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 이차부등식의 해를 구하시오.
   
   (1) x²-2x-1<0
   (2) -x²+4x-4≥0

(답) (1) 1-<x<1+    (2) x=2


(1) (x-1)²-2<0, (x-1)²<2에서 |x-1|<이므로
     -<x-1<이고 1-<x<1+

(2) -x²+4x-4≥0의 양변에 -1을 곱하면 x²-4x+4≤0
     (x-2)²≤0에서 (x-2)²<0을 만족하는 x는 존재하지 않으므로
     (x-2)²=0의 해를 구하면 x=2    　




2. 다음 이차부등식의 해를 구하시오.
   
   (1) x²-3|x|+2<0
   (2) [x]²-2[x]-1<0 ([x]는 x를 넘지 않는 최대정수)
   

(답) (1) 1<x<2 또는 -2<x<-1   (2) 0≤x<3

(1) |x|²-3|x|+2<0  ← |x|²=x²
     (|x|-1)(|x|-2)<0에서 1<|x|<2 ← 절대값이 1보다 크고 2보다 작은 수는?
      ∴ 1<x<2 또는 -2<x<-1


(2) ([x]-1)²<2, |[x]-1|<에서
     =1.4142^... 이고 [x]는 정수이므로
     [x]=0,1,2  ∴ 0≤x<3




3. 연립부등식 x²-5x+4≤0, (x+a)(x-3)>0의 해가 3<x≤4가 되도록 a의 범위를 정하시오.

(답) a≥-1

x²-5x+4≤0 ⇔ (x-1)(x-4)≤0 ⇔ 1≤x≤4
(x+a)(x-3)>0 ⇔ x<-a 또는 x>3

∴  -a≤1, a≥-1 (그림참조)




4. x의 이차부등식 a(x-a)(x-a²)<0을 만족하는 정수의 값이 x=2 한 개만 존재하도록 a의 범위를 정하시오.

(답)  <a≤

i)  a<0일 때, a² >0 이므로
    (x-a)(x-a²)>0 ⇔ x<a, x>a²이므로 정수 x는 무수히 존재
ii) 0<a<1일 때, 0<a²<a이므로
   (x-a)(x-a²)<0 ⇔ a²<x<a이고
  부등식을 만족하는 정수 x는 존재하지 않는다.
iii) a>1일 때, 1<a<a2이므로
    (x-a)(x-a²)<0 ⇔ a<x<a2이고
    이 범위 안에 정수값이 x=2 한 개만 존재하려면
    2<a²≤3 ∴ <a≤

Update : 2000년 01월 18일  수학선생님^®  수학교육연구^©