연립방정식 (2)

　


(1) 대칭형 : 문자 x, y를 바꾸어도 식이 변하지 않는 연립방정식

㉠ x+y=a, xy=b로 놓고 a, b를 구한다.
㉡ x, y를 두 근으로 하는 t 에 대한 이차방정식의 해를 구한다.

(2) 교환형 : f(x,y)=0 ...①, f(y,x)=0 ...② 꼴의 연립방정식

 ①-②하면 x-y로 인수분해 된다.

(3) 특수형 : 식의 특징에 따라 방정식끼리 더하거나 곱해본다

x+y+z, xy+yz+zx, xyz로 나타낼 수 있는 연립방정식은 x, y, z를 근으로 하는 삼차방정식을 만들어 해를 구한다.

t3-(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t-xyz=0

Problem 5-15 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 다음 연립방정식의 해를 구하시오.

    (1) x2+y2=2, x+y=2xy
    (2) x2+2y=1, y2+2x=1

    2. (답) (1) x=y=1 또는  (복호동순)
          (2) (-1±, -1±) (복호동순), (1+, 1-), (1-, 1+)

    (1) (x+y)2-2xy=2, x+y=2xy에서 x+y=a, xy=b로 놓으면
         a2-2b=2, a=2b에서 a2-a-2=0, (a-2)(a+1)=0
         a=2, b=1 또는 a=-1, b=-
         i) x+y=2, xy=1일 때 x=1, y=1
         ii) x+y=-1, xy=-일 때 x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은
            (t-x)(t-y)=0, t2-(x+y)t+xy=0, t2+t-=0, 2t2+2t-1=0 에서 t=
          
    (2) x2+2y=1 ...①, y2+2x=1 ...②


        ①-②하면 x2-y2+2y-2x=0, (x+y)(x-y)-2(x-y)=0, (x-y)(x+y-2)=0

        i) x=y일 때, ①에서 x2+2x-1=0 ∴ x=-1±  y=-1±
        ii) x+y-2=0일 때, ①에서 x2-2x+3=0 ∴ x=1±  y=1



  2. 연립방정식 x(x+y+z)=8, y(x+y+z)=12, z(x+y+z)=-4의 해를 구하시오.

    3. (답) x=2, y=3, z=-1 또는 x=-2, y=-3, z=1

    x(x+y+z)=8 ...①, y(x+y+z)=12 ...②, z(x+y+z)=-4 ...③
    ①+②+③하면 (x+y+z)2=16, x+y+z=±4

    i) x+y+z=4일 때, x=2, y=3, z=-1
    ii) x+y+z=-4일 때,  x=-2, y=-3, z=1　



  3. 연립방정식 x+y+z=2, xy+yz+zx=-1, xyz=-2 (x>y>z)의 해를 구하시오.

    4. (답) x=2, y=1, z=-1


    x, y, z를 세 근으로 하는 t 에 대한 삼차방정식은
    (t-x)(t-y)(t-z)=0
    t3-(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t-xyz=0
    t3-2t2-t+2=0, t2(t-2)-(t-2)=0
    (t-2)(t2-1)=0에서 t=2, 1, -1　



  4. 연립방정식 xy+x+y=5, yz+y+z=14, zx+z+x=9의 해를 구하시오.

    5. (답) x=1, y=2, z=4 또는 x=-3, y=-4, z=-5

    각 식의 양변에 1을 더하고 좌변을 인수분해하면
    (x+1)(y+1)=6, (y+1)(z+1)=15, (z+1)(x+1)=10
    세 식을 변끼리 곱하면
    (x+1)2(y+1)2(z+1)2=6×15×10(=22×32×52)

    ∴ (x+1)(y+1)(z+1)=±30


    i) (x+1)(y+1)(z+1)=30일 때
       x+1=2, y+1=3, z+1=5에서 x=1, y=2, z=4

    ii) (x+1)(y+1)(z+1)=-30일 때
       x+1=-2, y+1=-3, z+1=-5에서 x=-3, y=-4, z=-5

　

Update : 2000년 01월 17일  수학선생님®  수학교육연구©