Problem 5-14 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 연립방정식의 해를 구하시오.
   
   (1) y=x-2, z=y+1, x+2y+3z=11
   (2) x+y=3, y+z=2, x²-yz=3

(답) (1) x=3, y=1, z=2
      (2) x=2, y=1, z=1 또는 x=0, y=3, z=-1


(1) x=y+2, z=y+1을  ← x와 z를 y의 식으로 ^...
    x+2y+3z=11에 대입하면
     y+2+2y+3(y+1)=11, 6y=6, y=1이므로 x=3, z=2

(2) x=3-y, z=2-y를 x²-yz=3에 대입하면
     (3-y)²-y(2-y)=0,2y²-8y-6=0, y²-4y+3=0에서 y=1, 3

    y=1이면 x=2, z=1
    y=3이면 x=0, z-1
 




2. 의 해를 구하시오.

(답) i)  a≠±1일 때, x=a+1, y=a+1
      ii)  a=1일 때, 를 만족하는 0이 아닌 모든 수 x, y
      iii) a=-1일 때, 해는 존재하지 않는다.

=X, =Y라고 하면
aX+Y=1 ^...①, X+aY=1 ^...②
①×a-②하면 (a²-1)X=a-1

i)  a≠±1일 때, X=, ①에 대입하면 Y= ∴ x=a+1, y=a+1
ii)  a=1일 때, 0·X=0이므로 X는 무수히 존재
iii) a=-1일 때, 0·X=-2이므로 X는 존재하지 않는다. 




3. 다음 연립방정식의 해를 구하시오.
   
   (1) x²-xy-2y²=0, x²+y²=10
   (2) 2x²-3xy+y²=3, x²+2xy-3y²=5

(답) (1) (2, ), (-2, -), (-, ), (, -)
      (2) (2,1), (-2,-1)

(1) x²-xy-2y²=0을 인수분해하면
    (x-2y)(x+y)=0 ∴ x=2y 또는 x=-y ← 일차식을 얻는다.

     i) x=2y일 때, x²+y²=10에 대입하면 5y²=10 ∴ y=±, x=±2
     ii) x=-y일 때, x²+y²=10에 대입하면 2y²=10 ∴ y=±, x=±2

(2) 2x²-3xy+y²=3 ^...①, x²+2xy-3y²=5 ^...②
    ①-②×2하여 x를 소거하면
    x²-3xy+2y²=0 ← 인수분해 하여 일차식을 얻는다.
    (x-y)(x-2y)=0, x=y 또는 x=2y

   i) x=y일 때, ①은 0·y²=3이 되어 해는 없다.
    ii) x=2y일 때, ①에서 3y2=3 ∴ y=±1이고 x=±2 (복부호는 같은 순서)




4. x²+y²+x+y=6, x²+y²-xy=7의 해를 구하시오.

(답) (-3,-1), (-1,-3), (2,-1), (-1,2)

(x+y)²-2xy+(x+y)=6, (x+y)²-2xy-xy=7에서
x+y=a, xy=b라고 놓으면
a²-2b+a=6 ^...㉠, a²-3b=7 ^...㉡
㉠-㉡하여 이차항 a²을 소거하면 a+b=-1 ← 일차식을 얻는다.
b=-a-1을 ㉠에 대입하면
a²+3a-4=0, (a+4)(a-1)=0

∴ a=-4, b=3 또는 a=1, b=-2

i) a=-4, b=3일 때, x+y=-4, xy=3에서 (-1,-3)또는 (-3,-1)
ii) a=1, b=-2일 때, x+y=1, xy=-2에서 (2,-1)또는 (-1,2)

Update : 2000년 01월 17일  수학선생님^®  수학교육연구^©