상반(역수)방정식

13. 상반(역수) 방정식

상반방정식

㉠ 계수의 순서를 반대로 해도 식이 변하지 않는 방정식
㉡ α가 근이면 반드시 그 역수 도 근이 되는 방정식.

ax²+bx+a=0 ⇔ a+bx+ax²=0

(1) 4차의 상반방정식 : ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0 (a≠0)

양변을 x²으로 나누고 x+=t라고 치환하면 이차형의 방정식이 된다.

(2) 5차의 상반방정식 : ax⁵+bx⁴+cx³+cx²+bx+a=0 (a≠0)

f(-1)=0이므로 항상 x=-1이 근이 된다.
x+1 과 4차의 상반형의 식의 곱으로 인수분해 된다.

Problem 5-13 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

x⁴+2x³-x²+2x+1=0의 해를 구하시오.

(답) ,

양변을 x²으로 나누고 정리하면
x²+2x-1++=0, (x²+)+2(x+)-1=0
x+=t라고 하면
(t²-2)+2t-1=0, t²+2t-3=0, (t+3)(t-1)=0, t=-3, 1
x+=-3, x²+3x+1=0에서
x+=1, x²-x+1=0에서

x⁵-6x⁴+7x³+7x²-6x+1=0의 해를 구하시오.

(답) -1, , 2±

f(-1)=0이므로 (x+1)(x⁴-7x³+14x²-7x+1)=0
x=-1, x⁴-7x³+14x²-7x+1=0
x⁴-7x³+14x²-7x+1=0의 양변을 x²으로 나누고 정리하면
(x²+)-7(x+)+14=0
x+=t라고 놓으면 (t²-2)-7t+14=0
t²-7t+12=0에서 t=3 또는 4

x+=3, x+=4에서 x=, 2± 　

임의의 실수 t에 대하여 x-=t를 만족하는 실수 x가 반드시 두 개 존재하는 것을 증명하시오.

(증명)

x-=t의 분모를 없애고 x에 대하여 정리하면
x²-tx-1=0 ← x에 대한 이차방정식
모든 실수 t에 대하여 D=t²+4>0이므로

임의의 실수 t에 대하여 실수 x가 항상 두 개 존재한다. 증명 끝.
　

x⁴+px³+8x²-px+1=0이 네 개의 실근을 갖도록 실수 p의 범위를 정하시오.

(답) p<-2, p>2

x⁴+px³+8x²-px+1=0의 양변을 x²으로 나누면
x²++p(x-)+8=0
x-=t ^...①라고 놓으면, (t²+2)+pt+8=0
t2+pt+10=0이 서로 다른 두 실근을 가지면
①에서 실수인 서로 다른 x가 네 개 존재한다.

D=p²-40>0에서 |p|>2 　