12. 근과 계수의 관계 (2)

　


삼차방정식의 근과 계수의 관계
 
(1) ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0)의 세 근이 α, β, γ이면
     ax3+bx2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)이고 전개하여 계수를 비교하면

(2) α, β, γ를 세 근으로 하는 x의 삼차방정식

(x-α)(x-β)(x-γ)=0 ⇔ x3-(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0

Problem 5-12 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 2, , -1을 세 근으로 하는 삼차항의 계수가 2인 삼차방정식을 작성하시오.  

    2. (답) 2x3-3x2-3x+2=0


    (x-2)(2x-1)(x+1)=0를 전개하고 정리하면
    2x3-3x2-3x+2=0
    　



  2. x3-2x2+4x+3=0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때 (α+β)(β+γ)(γ+α)의 값을 구하시오.

    3. (답) 11

    α+β+γ=2, αβ+βγ+γα=4, αβγ=-3에서
    (α+β)(β+γ)(γ+α)
    =(2-γ)(2-α)(2-β)
    =23-(α+β+γ)22+(αβ+βγ+γα)2-αβγ
    =23-23+8+3=    11

  3. x3-2x2+ax+4=0의 두 근이 절대값이 같고 부호가 반대가 되도록 상수 a를 정하고 방정식의 세 근을 구하시오.

    4. (답) a=2,  세 근은 , -, 2

    방정식의 세 근을 α, -α, β라고 놓으면
    근과 계수의 관계에서
    α+(-α)+β=2에서 β=2 ...①
    α(-α)+(-αβ)+αβ=a에서 α2=a ...②
    α(-α)β=-4에서 α2β=4 ...③

    ①, ②, ③에서 a=2 α=±
    따라서 방정식의 세 근은 , -, 2



  4. x3-(2k+1)x+2k=0이 중근을 갖도록 실수 k의 값을 정하시오.

    5. (답) 1, -

    방정식의 좌변에 1을 대입하면 0이므로 ← 풀이의 핵심!
    (x-1)(x2+x-2k)=0
    이 방정식이 중근을 가지는 경우는
    x=1이 x2+x-2k=0의 근이거나
    x2+x-2k=0이 이중근

    i)  x=1이 x2+x-2k=0의 근이면 k=1
    ii) x2+x-2k=0의 근이 이중근이면 D=1+8k=0, k=- 　



　

Update : 2000년 01월 17일  수학선생님®  수학교육연구©