공통근

10. 공통근

(1) a(x-α)(x-β)=0과 a'(x-α)(x-γ)=0의 공통근은 x=α.
(2) x=α이 공통근 ⇔ x-α가 공통인수.
(3) f(x)=0, g(x)=0의 공통근이 α이면 α는 f(x)±g(x)=0의 한 근.
(4) 두 이차방정식의 공통근은 최대로 두 개 존재한다.

이차방정식의 공통근을 구하려면?

인수분해 하여 직접 근을 구해본다.
방정식의 x²항 또는 상수항을 소거해본다.

Problem 5-10 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

3x²-(k+1)x+4k=0과 3x²+(2k-1)x+k=0이 단 하나의 공통근을 가지도록 상수 k를 정하고 그 때의 공통근을 구하시오.

(답) k=-, 공통근 1

3x²-(k+1)x+4k=0...①
3x²+(2k-1)x+k=0...②
①-② : -3kx+3k=0 ← 이차항을 소거
-3k(x-1)=0에서 공통근은 x=1 ← k=0이면 공통근이 두 개 (같은 방정식이 되므로)

x=1을 ①에 대입하면 k=- 　

x²+ax+b=0과 ax²+bx+1=0 (a≠1)이 두 개의 공통근을 가질 때 a⁴-a²b²+b⁴의 값을 구하시오.

(답) -2

x²+ax+b=0의 양변에 a를 곱하면ax²+a²x+ab=0 ^...①
①과 ax²+bx+1=0는 동일한 방정식이므로 ← 공통근이 두 개
∴ a²=b, ab=1여기서 b를 소거하면 a³=1
조건에서 a≠1이므로 a²+a+1=0
마찬가지로 b³=1, b²+b+1=0
a-(ab)²+b=a-1+b
a²+a+1=0에 a²=b를 대입하면 a+b+1=0, a+b=-1

∴ a⁴-a²b²+b⁴=-2　

x²+ax+bc=0과 x²+bx+ca=0이 오직 한 개의 공통근을 가질 때 공통근이 아닌 두 근은 x²+cx+ab=0의 두 근임을 증명하시오. (단, c≠0)

(증명)

x²+ax+bc=0 ^...①
x²+bc+ca=0 ^...②
①-②하면 (a-b)(x-c)=0 따라서 ①, ②의 공통근은 x=c ← a≠b (공통근은 오직 한 개)

①에 x=c를 대입하면 c²+ac+bc=0, c(c+a+b)=0
조건에서 c≠0이므로 a+b+c=0
이 때, ①, ②는 (x-b)(x-c)=0, (x-a)(x-c)=0로 되므로
공통근이 아닌 두 근은 a와 b
a=-(b+c)를 x²+cx+ab=0에 대입하면
x²-(a+b)x+ab=0, (x-a)(x-b)=0

∴ x²+cx+ab=0의 두 근은 a와 b 증명 끝.

x²+2x+a=0, 2x²+ax+1=0, ax²+x+2=0이 오직 한 개의 실수인 공통근을 갖도록 실수 a를 정하고 공통근을 구하시오.

(답) a=-3, 공통근은 1

세 방정식을 변끼리 모두 더하면 (a+3)x²+(a+3)x+(a+3)=0
(a+3)(x²+x+1)=0에서 a+3≠0이면
x²+x+1=0이고 이 방정식의 두 근은 모두 허수이므로 a=-3
이 때 세 방정식은
x²+2x-3=0, (x-1)(x+3)=0,
2x²-3x+1=0, (2x-1)(x-1)=0
-3x²+x+2=0, -(3x+2)(x-1)=0

∴ 공통근은 x=1
　