두 근이 α, β인 이차방정식 (이차항의 계수가 1인...) (x-α)(x-β)=0  ⇔ x2-(α+β)x+αβ=0 ax2+bx+c=0 (ac≠0)의 두 근이 α, β일 때 cx2+bx+a=0 (ac≠0)의 두 근은 ,

Problem 5-9 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. ax²+bx+c=0 (ac≠0) ^...①의 두 근의 합과 곱을 두 근으로 하는 x의 이차방정식이 ax²-bx+c=0일 때 방정식 ①의 해를 구하시오

(답) 2, -1

①의 두 근을 α, β라고 하면 α+β=-, αβ=이므로
ax²-bx+c=0의 두 근은 -와 이다.
근과 계수의 관계에서 -+=, -×=-
이것을 간단히 하면 c=2b, b=-a이다.
①에 대입하면 ax²-ax-2a=0, a(x-2)(x+1)=0 ∴ x=2, -1
 




2. x의 이차방정식  ax²+bx+c=0 (ac≠0)의 두 근을 α, β라 할 때  , 을 두 근으로 하는 이차방정식은 cx²+bx+a=0임을 증명하시오. 

(증명)

, 을 두 근으로 하는 x의 이차방정식은 (αx-1)(βx-1)=0
αβx²-(α+β)x+1=0, x²+x+1=0 ←α+β=- , αβ=
∴ cx²+bx+a=0 증명 끝.




3. (x-a)(x-b)-2x=0의 두 근이 α, β일 때 (x-α)(x-β)+2x=0의 두 근을 구하시오.

(답) a, b

(x-a)(x-b)-2x=0을 정리하면 x²-(a+b+2)x+ab=0이므로
α+β=a+b+2, αβ=ab ^...①
(x-α)(x-β)+2x=0을 정리하면 x²-(α+β-2)x+αβ=0
①에서 x²-(a+b)x+ab=0이고 이 때 x=a, b　




4. 실수 a, b, c사이에 a+b+c=1, a²+b²+c²=1인 관계가 성립할 때 실수 c가 취할 수 있는 값의 범위를 구하시오.

(답) -≤c≤1
a+b+c=1에서 a+b=1-c ... ①
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)에서
ab+bc+ca=0, ab+(b+a)c=0, ab+(1-c)c=0, ab=-(1-c)c ...②

a, b를 두 근으로 하는 x에 대한 이차방정식을 만들면
(x-a)(x-b)=0, x²-(a+b)x+ab=0
①, ②에서

x²-(1-c)x+(c²-c)=0이고 이 방정식의 근이 실수 a, b이므로
D=(1-c)²-4(c²-c)≥0
3c²-2c-1≤0, (3c+1)(c-1)≤0 ∴ ≤c≤1
 　

Update : 2000년 01월 16일  수학선생님^®  수학교육연구^©