7. 실근의 부호

　


ax2+bx+c=0 (a≠0)의 두 근 α, β에 대하여

(1) 두 근이 모두 양수 ⇔ D≥0, α+β>0, αβ >0
(2) 두 근이 모두 음수 ⇔ D≥0, α+β<0, αβ >0
(3) 한 근은 양수 다른 근은 음수  ⇔  αβ < 0

αβ<0, α+β=0 ⇔ 두 근의 부호가 반대이고 절대값이 같다.
αβ<0, α+β>0 ⇔ 양수근이 음수근의 절대값 보다 크다.
αβ<0, α+β<0 ⇔ 양수근이 음수근의 절대값 보다 작다.

Problem 5-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. x의 이차방정식 k(x-1)2+x2=2의 두 근이 모두 양수가 되도록 실수 k의 범위를  정하시오.

    2. (답) -2≤k<-1, k>2


    (k+1)x2-2kx+(k-2)=0의 두 근을 α, β라고 하면
    D/4=k2-(k+1)(k-2)≥0에서 k≥-2 ... ①
    에서 k<-1, k>0 ... ②
    에서 k<-1, k>2 ... ③

    ①, ②, ③ 에서 -2≤k<-1, k>2


       



  2. x2-3x+a+3=0의 두 근이 같은 부호의 정수근이 되도록 a를 정하시오.

    3. (답) -1

    x2-3x+a+3=0의 두 근을 α, β라고 하면
    α+β=3 ... ①, αβ=a+3 ... ②
    ①에서 α, β는 1, 2  ←  α, β는 같은 부호의 정수
    ②에 대입하면 a=-1　



  3. x의 이차방정식 (a2+3)x2+4ax+2a-1=0이 양근과 음근을 갖고 음근의 절대값이 양수근보다 클 때 a의 범위를 구하시오.

    4. (답) 0<a<

    (a2+3)x2+4ax+2a-1=0의 두 근을 α, β라고 하면
    αβ<0, α+β<0 ← 음수근의 절대값이 양수근보다 더 크다.
    αβ= <0, a< ...①
    α+β= <0, a>0 ...②
    ①,②에서 0<a<



  4. x2+ax-a+1=0의 두 근이 모두 양의 정수가 되도록 a를 정하시오.

    5. (답) -5

    x2+ax-a+1=0의 두 근을 α, β라고 하면
    α+β=-a ...①
    αβ=-a+1 ...②

    ①, ②에서 a를 소거하면 αβ=α+β+1
    αβ-α-β=1
    α(β-1)-β=1
    α(β-1)-(β-1)-1=1
    α(β-1)-(β-1)=2
    (α-1)(β-1)=2    에서 α-1, β-1은 각각 1, 2

    ∴ 두 근이 2, 3이므로 ①에서 a=-5

　

Update : 2000년 01월 17일  수학선생님®  수학교육연구©