6. 근과 계수의 관계


　

ax2+bx+c=0 (a≠0)의 두 근이 α, β일 때

(1)
(2)

두 근의 차가 k ⇔ 두 근은 α, α+k
두 근의 비가 m:n ⇔ 두 근은 mα, nα

Problem 5-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. x2-4x+1=0의 두 근을 α, β라 할 때 의 값을 구하시오. 

    2. (답) 2

    α+β=4, αβ=1
    α2-4α+1=0, β2-4β+1=0 ← x2-4x+1=0의 두 근이 α, β
    α2+1=4α, β2+1=4β이므로

     =2(+)
     (+)2=α+β+2=4+2=6

    ∴ +=이고  =2



  2. x2-3x+1=0의 두 근을 α, β라 하고 두 근을 γ, δ라고 할 때 의 값을 구하시오.

    3. (답) -9

    x2-3x+1=0에서 α+β=3, αβ=1
    x2+3x+1=0    에서 γ+δ=-3, γδ=1



  3. x의 이차방정식 ax2+ax+1=0의 두 근의 차가 2일 때 a를 구하시오.

    4. (답) -

    ax2+ax+1=0의 두 근을 α, α+2라고 놓으면
    α+(α+2)=-1, α=-
    α를 방정식에 대입하면 a-a+1=0, a=-1, a=-　



  4. x의 방정식 x2+px-p2=0의 두 근의 비가 1:p (p≠0)일 때 p를 구하시오.

    5. (답)

    방정식의 두 근을 α, pα라고 놓으면
    α+pα=-p ...①
    pα2=p2 에서 α2=p ...②
    ①, ②에서 p를 소거하고 정리하면 α3+α2-α=0
    α≠0이므로 α2+α-1=0에서
    p=α2이므로 p=





　

Update : 2000년 01월 16일  수학선생님®  수학교육연구©