5. 판별식의 이용

　


(1) 실계수 2차방정식의 근의 판별 : D≥0 이면 실근, D<0이면 허근
(2) 이차식이 완전제곱식이 될 조건 : D=0
(3) x, y에 대한 이차식이 두 일차식의 곱으로 인수분해될 조건 : D의 D=0
판별식은 이차방정식 꼴로 표시할 수 있는 최대값 또는 최소값을 구하는 문제에 이용되기도 한다. 

Problem 5-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. ax2+bx+c (a≠0)이 완전제곱식이 될 필요충분조건은 b2-4ac임을 증명하시오. 

    2. (증명)


    에서 -+c=0의분모를 없애고 정리하면 b2-4ac=0
    역으로 b2-4ac=0이면 c= 이므로 ax2+bx+c=0에 대입하면
    ax2+bx+=0 이고



  2. k(x+1)(x+2)+x2이 완전제곱식이 되도록 k를 정하시오.

    3. (답) 0, 8

    (k+1)x2+3kx+2k에서 D=(3k)2-4(k+1)·2k=0, k2-8k=0

    ∴ k=0 또는 8　



  3. 근의 공식을 써서 x2+3xy+2y2-4x-7y+3을 인수분해 하시오.

    4. (풀이)

    준식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
    x2+(3y-4)x+2y2-7y+3 (=0)
    근의 공식을 써서 근을 구하면


     
    ∴ x=-y+3, x=-2y+1에서 (x+y-3)(x+2y-1) (=0)



  4. 집합 {(x,y)| 2x2+7xy+3y2+3x-y+k=0}이 두 직선을 나타내도록 실수 k를 정하고 두 직선의 방정식을 구하시오.

    5. (답) -2,  2x+y-1=0, x+3y+2=0

    준식을 x에 대하여 정리하면 2x2+(7y+3)x+3y2-y+k=0
    이 식이 두 직선을 나타내려면 두 일차식의 곱으로 인수분해 되어야 한다.

    D=(7y+3)2-4·2·(3y2-y+k)=25y2+50y+(9-8k)
    D의 D/4=252-25(9-8k)=0에서 k=-2
    준식에 대입하고 인수분해하면 (2x+y-1)(x+3y+2)=0 　



　

Update : 2000년 01월 16일  수학선생님®  수학교육연구©