8. 미정계수법

　


(1) 계수비교법 : 항등식은 좌변, 우변이 동일. (좌변≡우변)
(2) 수치대입법 : 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 등호가 성립.

복잡한 문제를 풀 때는 계수비교법과 수치대입법을 함께 사용.

다음 식이 x또는 y의 항등식이면 계수는 모두 0

㉠ ax+b=0 ⇔ a=0, b=0
㉡ ax+by+c=0 ⇔ a=0, b=0, c=0
㉢ ax2+bx+c=0 ⇔ a=0, b=0, c=0

Problem 4-8 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. x2+x+1=a(x-1)2+b(x-1)+c이 x에 대한 항등식이 되도록 상수 a, b, c의 값을 정하시오.

    2. (답) a=1, b=3, c=3

    x2+x+1=a(x-1)2+b(x-1)+c
    =a(x2-2x+1)+b(x-1)+c
    =ax2+(b-2a)x+(a-b+c)    의 좌변, 우변의 계수를 비교하면
    a=1, b-2a=1, a-b+c=1


  2. 모든 x, y에 대하여 2ax+2by+x-2y=0이 성립하도록 a, b의 값을 정하시오. 　

    3. (답)

    x,y에 대한 항등식이므로 x와 y에 대하여 정리하면
    (2a+1)x+(2b-2)y=0  ∴ 2a+1=0, 2b-2=0　


  3. 3(x-1)=2(y+1)을 만족하는 모든 x, y에 대하여 ax-2y+b=0이 성립하도록 상수 a, b의 값을 정하시오.

    4. (답) a=3, b= -5

    3(x-1)=2(y+1)와 ax-2y+b=0은 동일한 식 ← 풀이의 핵심!
    3x-2y-5=0 ⇔ ax-2y+b=0에서 a=3, b=-5


  4. 2x2+x+1=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c가 x의 항등식이 되도록 상수 a, b, c의 값을 정하시오.



    5. (답) a=2, b=7, c=4


    좌변, 우변의 이차항의 계수를 비교하면 a=2
    x=1을 대입하면 c=4
    x=2를 대입하면 11=b+c ∴ b=7　

　

Update : 2000년 01월 13일  수학선생님®  수학교육연구©