17. 유클리드의 호제법

　


유클리드의 호제법

A=BQ+R (0<R<B)일 때 A와 B의 최대공약수는 B와 R의 최대공약수와 같다.

큰 수와 작은 수의 최대공약수는 작은 수와 나머지 (큰 수를 작은 수로 나눌 때)의 최대공약수와 같다.

Problem 4-17 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 799와 1081의 최대공약수를 구하시오. 

    2. (답) 47

     



  2. 합이 477이고 최소공배수가 742인 두 자연수를 구하시오.

    3. (답) 106, 371

    Ga+Gb=477, Gab=742 (a, b는 서로소)
    G(a+b)=477, Gab=742에서 a+b와 ab는 서로소 이므로

    G는 477과 742의 최대공약수
    G=53 이므로 a+b=9, ab=14

    ∴ a, b는 2, 7이고 Ga, Gb는 106, 371
     　



  3. 두 다항식 x2+ax+b, x2+bx+a의 최대공약수가 x+c일 때 c를 구하시오, 또 이 때의 최소공배수는 (x-1)(x-a)(x-b)임을 밝히시오.

    4. (증명)

    (x2+ax+b)-(x2+bx+a)=(a-b)(x-1)에서 x-1은 두 다항식의 공약수

    최대공약수가 일차식 x+c 이므로 c=-1
    x-1이 두 식의 최대공약수 이므로 x=1을 대입하면 0
    따라서 1+a+b=0 
    x2+ax+b=x2-(b+1)x+b=(x-1)(x-b)
    x2+bx+a=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)

    따라서 최소공배수는 (x-1)(x-a)(x-b)



  4. 두 다항식 2x3+3x2+ax+b, x3+x2+(a+b)x+b의 공약수가 x-1일 때 두 다항식의 최대공약수와 최소공배수를 구하시오.

    5. (답) 최대공약수 (x-1)(x+3), 최소공배수 (x-1)2(2x-1)(x+3)


    x-1    이 두 식의 공통인수 이므로 x=1을 두 식에 대입하면 모두 0
    2+3+a+b=0, 1+1+(a+b)+b=0에서
    a+b=-5, a+2b=-2이고 a=-8, b=3

    이 때 두 다항식은 2x3+3x2-8x+3, x3+x2-5x+3이고
    두 식을 인수분해하면

    (x-1)(2x-1)(x+3), (x-1)2(x+3)이므로
    최대공약수는 (x-1)(x+3), 최소공배수는 (x-1)2(x+3)(2x-1)

      　

　

Update : 2000년 01월 14일  수학선생님®  수학교육연구©