16. 공약수와 공배수

⑴ G, a, b 가 모두 정수일 때  G 는  Ga, Gb 의 공약수
Gab 는 Ga, Gb 의 공배수

⑵ a 와 b 가 서로소일 때
G 는 Ga, Gb 의 최대공약수
Gab 는 Ga, Gb 의 최소공배수
서로소 : 공약수가 1 한 개만 존재하는 두 정수 사이의 관계

Problem 4-16 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 최대공약수가 12 이고 최소공배수가 504 인 두 자리의 자연수 A, B 를 구하시오. 

    2. (답) 72, 84

    두 정수를 Ga, Gb 라고 하면 (G, a, b 는 정수이고 a, b 는 서로소)
    최대공약수는 G, 최소공배수는 Gab → G=12, Gab=504 에서 ab=42

    a, b 는 서로소이므로 a=1, 42 또는 a=6, 7 이고
    a=6, 7 일 때 두 수는 두 자리의 자연수가 되고 그 수는 72 와 84 ^^



  2. 합이 70 이고 최대공약수가 7 인 두 자연수를 구하시오.

    3. (답) 7, 63 또는 21, 49

    두 자연수를 Ga, Gb 라고 하면 (a, b 는 서로소) 최대공약수 G

    Ga+Gb=70, G=7 에서 a+b=10
    a, b는 서로소이므로 a, b 는 1,9 또는 a, b 는 3, 7 ∴ Ga, Gb 는 7, 63 또는 21, 49　



  3. 최대공약수가 x+1, 최소공배수가 x3+2x2-x-2 인 두 이차다항식을 구하시오.

    4. (답) (x+1)(x+2), (x+1)(x-1)

    두 이차다항식을 Ga, Gb (a, b 는 서로소)라고 하면
    G=x+1, Gab=x3+2x2-x-2
    Gab=x(x2-1)+2(x2-1)=(x+1)(x-1)(x+2)

    G=x+1이므로 ab=(x-1)(x+2)
    a, b 는 서로소 이므로 a, b는 1, (x-1)(x+2)또는 x-1, x+2

    두 식이 이차의 다항식이 되는 경우는 x-1, x+2 인 경우이고
    이 때 두 다항식은 (x+1)(x+2), (x+1)(x-1)



  4. 곱이 x3+x2-5x+3 이고 최대공약수가 x-1 인 두 다항식을 구하시오.

    5. (답) x-1, (x-1)(x+3)

    두 다항식을 Ga, Gb (a, b 는 서로소)라고 하면 Ga·Gb=x3+x2-5x+3, G=x-1
    (x-1)2·ab=x3+x2-5x+3
    (x-1)2·ab=(x-1)2(x+3) 에서 ab=x-1 이므로 a, b 는 1 과 x+3
    따라서 두 다항식은 x-1, (x-1)(x+3) ^^



　

Update 2001년 05월 20일 수학선생님® 수학교육연구©